Legge delle aspettative iterate: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La “legge delle aspettative iterate” è una legge della statistica (per variabili casuali doppie) che stabilisce la seguente affermazione: date due variabili casuali A e B, di cui almeno A sicuramente integrabile, si ha che la media di A equivale alla media delle aspettative ponderate (l’insieme delle previsioni) di A, data la variabile B, con pesi dati dalla distribuzione di probabilità di B. Due variabili si definiscono causali se possono assumere dei valori differenti a seconda dell’accadere di un dato fenomeno aleatorio (fenomeno che non restituisce sempre i medesimi risultati, anche in presenza delle stesse condizioni di partenza). Una variabile casuale è detta integrabile se E|A| < ∞. Vediamo ora la dimostrazione.

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Definizione di variabili casuali doppie

Per prima cosa è utile definire cosa si intende per variabili casuali doppie. Se abbiamo due variabili A e B, su queste possono essere eseguite le operazioni di somma (X=A+B) oppure di prodotto (X=AxB). La nuova variabile X è funzione delle due variabili di partenza ed è chiamata “variabile casuale doppia”. Altra definizione importante è quella di “distribuzione di probabilità congiunta” di due variabili casuali. Questa viene definita come la probabilità che le due variabili (discrete) A e B assumano nello stesso momento i valori a e b. Questa distribuzione si indica nel modo seguente: Pr (A=a; B=b). In questo modo si ottiene che la somma delle probabilità delle combinazioni dei valori a e b sia pari a 1. La distribuzione di “probabilità marginale” è, invece, la probabilità della singola variabile B. Può essere calcolata partendo dalla precedente probabilità congiunta andando a sommare le probabilità dei possibili risultati in cui B assume valori specifici: Pr (B=b)=ΣPr (A=ai, B=b).

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Definizione di “distribuzione condizionata”

Passiamo ora alla definizione di “distribuzione condizionata”. Questa particolare distribuzione di probabilità è la distribuzione di una variabile A, data la variabile B, condizionatamente al fatto che la variabile B assuma uno specifico valore. In termini statistici si esprime (data B=b): Pr (A=a|B=b)=[Pr (B=b, A=a)]/[Pr (B=b)]. Ora possiamo quindi meglio interpretare cosa si intenda per “aspettativa condizionata”. L’aspettativa condizionata di A, data B, è la media condizionata ed è espressa come la media della distribuzione condizionata di A data B: E (A|B=b)=Σai Pr (A=ai, B=b).

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Ricavare la formula della “legge delle aspettative iterate”

Grazie alla definizione di “distribuzione condizionata” e di “aspettativa condizionata”, possiamo ricavare la formula della “legge delle aspettative iterate”: E (A)=ΣE (A|B=bi) Pr (B=bi), con la variabile B che assume i valori b1…Bi. Questa legge può anche essere enunciata ed espressa in un altro modo: l’aspettativa di A è definita come l’aspettativa dell’aspettativa condizionata di A, avendo dato B: E (A)=E[E (A|B)]. E (A|B) viene calcolata partendo dalla distribuzione condizionata di A, data B, mentre E[E (A|B)] si ottiene con la distribuzione marginale di B.

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