Le equazioni delle trasformazioni geometriche nel piano cartesiano

Le trasformazioni geometriche rappresentano una corrispondenza che collega ad ogni punto del piano uno o più punti del piano stesso. È quindi una corrispondenza biunivoca di tutti i punti. Per comprendere le equazioni delle trasformazioni geometriche nel piano cartesiano, dobbiamo considerare il piano stesso ed indicare con A (x, y) un suo punto. Il punto corrispondente ad A in una trasformazione geometria verrà indicato con A'(x', y'). Affermeremo per cui che A si trasforma in A' e lo indicheremo con:
A (x, y)> A' (x', y').

Ogni punto A (x, y) si associa con il suo trasformato A'(x', y') grazie due relazione definite equazioni della trasformazione. Queste vengono scritte con equazioni rappresentate con un sistema di equazione e più precisamente con:
{x' = ax+ by+c{y' = a'x +b'y +c'Va tenuto presente che a, b, c, a', b', c' sono i relativi coefficienti reali. Per trovare i corrispondenti dei punti A (2,2) e B (4,1) nell'equazione trasformazione {x' = 2x-y+5{y'= x+y+1 Al punto A (2,2) corrisponde il punto A' con coordinate (7,5) calcolate sostituendo le coordinate A nell'equazione ovvero:
{x'= 2*2 -1= 7{y'= 2+2+1= 5
Dopo tale calcolo scriveremo la corrispondenza:
A (2,2) > A' (7,5) Nello stesso modo troveremo il punto B' segnando la corrispondenza B (4,1) > B'(12,6).

Partendo da un segmento AB e considerando i suoi due possibile versi, ossia da A verso B o viceversa, avremo un segmento orientato. Questo segmento da A verso B si indica con : -> AB quello da B verso A con: ->BADa un segmento orientato, se la distanza dei suoi estremi è uguale a quella tra A e B, diremo che i due sono equipollenti. Questa relazione è di equivalenza e suddivide gli insiemi dei segmenti orientati dal piano in classi di equivalenza. Tieni presente che un vettore può essere indicato da uno qualsiasi dei segmenti orientati se appartengono alla stessa classe oppure con una freccia sopra la lettera.

Per traslare una retta si dovrà scrivere l'equazione della traslazione del vettore e quindi sostituire le variabili ottenute nell'equazione della retta. Vediamo un esempio con la retta y= 4x - 5 ed il vettore (-5; 3)Prima di tutto dovremo scrivere l'equazione della traslazione del vettore, ovvero:
{ x' = x-5{ y' = y+ 3
Quindi ricaviamo da questo le variabili x ed y, ossia:
{ x= x+5{ y= y -3
A questo punto dovremo sostituire tali valori nell'equazione della retta mettendo al posto la variabile y'-3 al posto di y e x'+5 al posto di x, ottenendo:
y'-3 = 4 (x' + 5) - 5y' = 4x' + 20 - 5 + 3y' = 4x' + 18Per l'equazione della retta r' sarà y' = 4x' + 18. In seguito elimineremo gli apici e avremo così l'equazione della retta r: y = 4x - 5 e l'equazione traslata di tale retta: y = 4x + 18Tieni presente che le rette che si corrispondono nella traslazione sono, secondo la regola generale, parallele.