Le derivate parziali

Tramite: O2O 07/05/2017
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Dobbiamo prima di tutto comprendere il significato del termine di derivata:
sia f (x) definita in un intervallo aperto (a, b) e sia x un punto di (a, b) si dice che la funzione f è derivabile nel punto x se esiste in finito il limite del rapporto incrementa

limite per h che tende a zero di (f (x+h) - f (x)) / h

tale limite è la derivata di f, e si indica con una delle seguenti notazioni

Df (x), df/dx, Dy e così via

Le derivate parziali vengono di solito usate nello studio di funzioni di almeno due variabili reali, le regole solitamente sono le stesse che con lo studio di una sola variabile come prima spiegato
Innanzitutto bisogna selezionare la variabile dalla quale si intende derivare, considerando x e y deriviamo rispetto a x, quindi deriviamo y e x la considereremo come una costante.

Quindi ora possiamo definire delle semplici derivate parziali prima rispetto alla variabile y, la derivata della funzione quando x risulta costante.

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Occorrente

  • carta e penna
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Fasi da compiere

Fasi con le derivate:
Se f e g sono due funzioni derivabili in un punto x, allora sono derivabili in x anche la somma, la differenza, il prodotto, il quoziente (purché il denominatore sia diverso da zero) avremo le seguenti azioni che dovremmo fare:

d (f+g)= d (f) +d (g)
d (f-g)=d (f)-d (g)

d (fg)=df (g) +f (dg)

d (f/g)=(df (g)-f (dg))/g exp 2.

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funzioni composte e inverse

Derivate funzioni composte e funzioni inverse:
Quella che è una delle principali regole che bisogna seguire e tenere presenti le funzioni delle derivate inverse.
Se y è una funzione di z (y=f) z)) e z è a sua volta funzione di x (z=g (x)), y=f (g (x)) è la funzione risultante.

Vi è un teorema che viene chiamato Teorema di derivazione delle funzioni composte.
Se g è una funzione derivabile in x, e se f è una funzione derivabile nel punto g (x), allora la funzione composta f (g (x)) è derivabile in x

Df (g (x)) = df (g (x)) dg (x).

Continua la lettura
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Il significato geometrico

Derivata il suo significato geometrico:
Per definire il significato geometrico di una derivata si deve considerare una funzione generica f (x) che deve essere definita in un intorno x0.

Consideriamo un piano x e y dovremo calcolare l' equazione della retta r passante per un punto detto p0 di coordinate (x0, f (x0)) e che sia tangente al grafico della funzione f.
Consideriamo quindi l' equazione generica di una retta y=mx+q determiniamo quindi m e q. Dalle 2 equazioni in 2 incognite.

f (x0)=mx0+q
f (x0+h)=m (xo+h)+q

dalla 2 equazione otterremo m=[f (xo+h)-f (x0)]/h e poi ricaviamo q dalla prima equazione avremo quindi

y=[f (x0)+(f (xo+h)-f (xo))/h](x-xo)

l 'equazione della retta tangente esiste nel limite per h che tende a zero.

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In conclusione

L'aspetto focale che bisogna assolutamente tenere presente e ricordare quando si svolgono queste fasi è il seguente: Quando si deriva parzialmente rispetto ad una variabile, si considera l'altra variabile come una costante. Nel caso in cui ci fossero più variabili, rispetto a quelle che stiamo valutando, come costanti.
Questa è la regola di base da tenere presente.

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