La successione di Fibonacci

Probabilmente tutti hanno sentito parlare di "Successione di Fibonacci" o quantomeno il nome di Fibonacci. Ma cosa si intende per "Successione di FIbonacci"? E che risvolti o applicazioni concreti ha nella di tutti i giorni? Per cominciare diamo subito una definizione: con successione di Fibonacci si intende una sequenza lineare e omogenea di numeri naturali determinata ricorsivamente, i cui termini inziali sono 1 e 1 e quelli successivi sono determinati dalla somma dei due precedenti. Posto quindi che i primi termini sono 1 e 1, la sequenza sarà dunque: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ....
Chi era Fibonacci, quando visse e la "sua" sequenza, o serie, è solo un astratto modello matematico o ha anche applicazioni concrete? Continuate con la lettura se ne volete sapere di più.

• Penna e carta

Leonardo Pisano, questo il vero nome, nacque a Pisa nel 1175 circa (e vi morì nel 1250 circa) da un ricco commerciante, Guglielmo de Bonacci, da cui filius bonacci (figlio di Bonacci). Fondamentale per l'opera di Leonardo fu il soggiorno in nord Africa, dove venne a contatto con le ricerche matematiche che si stavano diffondendo in quel periodo nel mondo arabo. È grazie al suo libro Liber abbaci, più conosciuto come Liber abaci (1202), che si deve la diffusione in Europa dei numeri cossiddetti "arabi",più correttamente indo-arabici, e soprattutto dello zero. La sua fama si diffuse rapidamente, tanto che l'Imperatore Federico II di Svevia gli concesse un vitalizio affinché potesse dedicarsi ai suoi studi presso la sua corte.

Riprendiamo ora la definizione di successione di Fibonacci: essa è una sequenza di numeri naturali determinata ricorsivamente, i cui termini inziali sono 1 e 1 e quelli successivi sono determinati dalla somma dei due precedenti. Fibonacci individuò la successione che da lui prende il nome studiando l'andamento della popolazione di conigli. Egli si chiese: "se parto da una coppia di conigli, sapendo che questa diventerà fertile dopo un mese dalla nascita per poi generare un'altra coppia, quanti conigli avrò nei prossimi mesi?"
Partando da una coppia di conigli, la seconda coppia comparirà dopo due mesi: si avranno dunque 2 coppie, di cui una fertile (la prima) e una no (la seconda). Dopo tre mesi si avranno 3 coppie: le prime due (antrambe fertili) e l'ultima (non ancora fertile). Il mese seguente le coppie saranno 5: le tre precendenti, più altre due, e così via. Si avrà dunque la sequenza 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ...
Fino al XIX secolo, però, questa sequenza non suscitò interesse, fino alla scoperta della sua relazione con la sezione aurea e al legame con molti fenomeni naturali.

La sezione aurea, conosciuta anche come costante di Fidia o proporzione divina, indica il numero irrazionale 1,6180339887... Man mano che si procede nella successione di Fibonacci, il rapporto tra due numeri consecutivi approssima sempre meglio il numero aureo. Partendo da questa successione si può costruire un rettangolo aureo, che soddisfa il rapporto aureo, e a sua volta, partendo dal rettangolo aureo si può ottenere una spirale.
Se tracciamo le diagonali all'interno di un pentagono regolare, otteniamo una stella a cinque punte i cui lati sono in rapporto aureo con i lati del poligono.Anche nei frattali si ritrovano i numeri di Fibonacci. I frattali sono infatti degli oggetti geometrici che ripetono la propria forma al loro interno, in scala ridotta. La proprietà di autosomiglianza di cui godono si ripete secondo un modello costante che ricalca la sequenza di Fibonacci.

La spirale sopra descritta si ritrova in molte conchiglie ma la possiamo trovare anche in botanica. Ad esempio nel girasole: i fiori al suo centro sono disposti lungo due insiemi di spirali che girano in senso orario e in senso antiorario. E quasi tutti i fiori hanno un numero di petali pari a tre, otto, tredici, ventuno, trentaquattro, cinquantacinque o ottantanove. Spirali connesse ai numeri di Fibonacci si trovano anche nelle pigne e nel cavolfiore e il numero di foglie attorno al fusto di una pianta sono quelli della sequenza.

La successione di Fibonacci è usata anche nel campo dell'informatica e si parla di "Fibonacci heap", dove con "heap" si intende una struttura dati basata su una struttura ad albero. Questa particolare struttura venne sviluppata nel 1984 e viene usata nelle operazioni di coda di priorità, ossia quando ad ogni elemento di una data struttura dati viene data una priorità. Il processore Pentium utilizza questa Fibonacci heap per risolvere certi algoritmi.
La successione di Fibonacci viene utilizzata anche per il trading e nello studio dell'andamento dei prezzi dei mercati nel tempo, secondo la teoria delle onde di Elliott.

A Torino, la cupola della Mole Antoneliana ospita dal 2001 l'opera "Il volo dei numeri" di Mario Merz. Quest'opera consiste di grandi neon che formano i numeri della successione di Fibonacci disposti dal basso verso l'alto e che vengono accesi ogni notte. Mario Merz, esponente della corrente dell'Arte povera, fu sempre affascinato dalla sequenza di FIbonacci e difatti l'installazione di Torino non è la sua unica opera ad essa ispirata.
Sulle mure del borgo medievale di San Casciano, ha posto un cervo imbalsamato preceduto e seguito da questa successione numerica, successione che ha portato anche a Turku, in Finlandia, sulla ciminiera di una centrale elettrica.

Il 23 novembre si festeggia il giorno di Fibonacci: come mai proprio quella data? Semplice: perché negli Stati Uniti, il mese compare prima del giorno, nelle date. Per cui il ventritrè novembre viene scritto 11/23, che può anche essere letto come la sequenza dei numeri 1, 1, 2, 3 e quindi l'inizio della sequenza di Fibonacci.

• https://www.liceoberchet.gov.it/ricerche/sezioneaurea/sez2.htm

• https://it.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Fibonacci
• Come disegnare una spirale aurea