La scomposizione di polinomi in fattori

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Scomporre i polinomi in fattori significa riscrivere un polinomio in maniera semplificata per poterlo poi elaborare più semplicemente e velocemente, senza che se ne pregiudichi la corretta equivalenza con il polinomio originale. Nel corso del tempo sono stati introdotti più metodi di scomposizione, ognuno avente proprie peculiarità. Vediamo allora come avviene la scomposizione di polinomi in fattori.

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Il raccoglimento totale

Il raccoglimento totale consiste nella divisione del polinomio con un termine comune a tutti i fattori: la prima cosa da fare è quindi individuare tale fattore comune. Una volta che si è riconosciuto si deve scrivere tale fattore all'esterno della parentesi nella quale andranno inseriti tutti i termini del polinomio originale divisi per il fattore comune. Il procedimento è più facile effettuarlo che spiegarlo; ecco un esempio pratico:
- il polinomio "2x + 4" un volta semplificato utilizzando il raccoglimento totale risulterà così scritto "2 (x + 2)".

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Il raccoglimento parziale

Il metodo numero due, ossia il raccoglimento parziale, si articola in due fasi. La prima richiede di semplificare (tramite il raccoglimento totale) una parte del polinomio in modo taleda creare due o più binomi identici. La seconda consiste nello scrivere il polinomio scomposto come il prodotto tra il binomio formatosi nella prima fase e il polinomio formato dai coefficienti. Ad esempio (3*x) + 3 + (2*x) + 2=> 3*(x+1) + 2*(x+1)= >(3+2)*(x+1).

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La scomposizione secondo il trinomio caratteristico

La scomposizione secondo il trinomio caratteristico si può utilizzare quando si ritrova un polinomio della seguente forma: ax^2 + b*x + c. L'obiettivo è riuscire a trovare due numeri i quali sommati diano 'b' e moltiplicati diano 'c'. (attenzione: non sempre è possibile scomporre in questo modo). Se esistono tali due numeri, allora il polinomio è scomponibile grazie a tal metodo. Un esempio pratico: x^2 + 7x + 10 è scomponibile, perché i due numeri che simultaneamente sommati danno 7 e moltiplicati danno 10 sono 5 e 2; allora procediamo con la semplificazione in questo modo. I due numeri trovati andranno inseriti nel polinomio così: (x + 5)(x + 2).

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Il metodo di Ruffini

Il metodo di Ruffini è quello più generale ed applicabile a tutti i polinomi riducibili. Si deve innanzitutto trovare un binomio del tipo (x-a) che sia un fattore del polinomio, dove a è un numero. Il modo più comodo per trovare il valore a consiste nel provare a sostituire alla incognita del polinomio il valore 0 e, se il polinomio non risulta uguale a 0, si continua a provare con 1 e così via. Una volta trovato il valore di a si deve effettuare la divisione con resto zero tra il polinomio di partenza ed (x-a). Il polinomio scomposto sarà il prodotto tra (x-a) e il risultato della divisione. Ad esempio 3*x^2 - 6*x + 3 => (x-1) * (3*x-3).

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