La derivata di una funzione nei massimi e minimi relativi

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

L'analisi matematica studia il comportamento delle funzioni in una o più variabili. Quando ci troviamo di fronte ad un grafico di funzione già disegnato, spesso ci chiediamo come sia stato possibile determinarne il comportamento. Le derivate sono uno strumento fondamentale per l'analisi del comportamento delle funzioni, e molti comportamenti sono legati a condizioni particolari. Vediamo di concentrarci nello studio della derivata di una funzione nei massimi e nei minimi relativi.

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Occorrente

  • prontuario delle formule di derivazione
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A cosa serve derivare una funzione in un punto

Una funzione, nel momento in cui viene rappresentata graficamente può, seguendone l'andamento da sinistra a destra, avere molte variazioni di comportamento. Le funzioni in generale possono alternare comportamenti crescenti o decrescenti, ovvero sia, avere una "pendenza" positiva o negativa. La derivata di una funzione calcolata in un dato punto, rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel punto. Ovviamente tale coefficiente può essere positivo, negativo o anche nullo. Focalizzandoci sui casi in cui il coefficiente risulta essere nullo, ossia la retta tangente nel punto è parallela all'asse delle x, è lecito chiedersi come tale tangente si comporti a destra e a sinistra del punto.

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La derivata nulla in un punto di massimo o minimo

Se la derivata in un punto risulta essere nulla, dobbiamo subito chiederci come si comporti a destra e a sinistra di tale punto. Se per caso ci trovassimo in una situazione in cui spostandoci di un tratto infinitesimo lungo la curva la derivata dovesse risultare positiva a sinistra e negativa a destra, questo implicherebbe che le rette tangenti associate avrebbero pendenze e direzioni diverse. In sostanza questa sarebbe la condizione perché il punto a derivata nulla si dica di massimo relativo. Per converso se la derivata passasse da negativa a positiva, il punto si dice di minimo relativo. Graficamente il primo caso è associato ad una convessità locale, mentre il secondo ad una concavità.

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La derivata nulla di una funzione in punti non di massimo e minimo

Bisogna tener presente in ogni caso che la derivata nulla non implica la presenza di massimi o minimi relativi, o locali. Se la derivata prima è nulla in un punto, ma lo è anche la derivata seconda, questi punti sono detti "di flesso" e devono essere studiati a parte. Prima di trarre una conclusione, analizzando le derivate, si deve sempre studiarne il comportamento in un intorno. Le funzioni possono infatti presentare comportamenti particolari legati anche per esempio alla presenza di discontinuità che devono essere analizzate.

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