Integrali secondo Riemann: definizione e calcolo

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Ecco una guida sugli integra secondo Riemann. Nel ramo dell'analisi matematica il primo contributo rigoroso rispetto alla definizione di integrale di una funzione su un intervallo fu dato da Bernard Riemann, studioso fisico e matematico tedesco, vissuto tra il 1726 e il 1866. Tradizionalmente la matematica veniva vista come disciplina del calcolo, veniva utilizzata per faccende di ordine pratico, ma fu in Germania che essa cominciò a entrare in abito mentale più astratto fatto di nuove forme geometriche e numeri. Riemann si immerse nelle rivoluzione matematica, introducendo una nuova teoria di geometria astratta che diede un impulso nuovo a questa scienza. Ma vediamo nel dettaglio gli integrali secondo Riemann, dandone la definizione e facendone il calcolo.

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Supponiamo che ci venga assegnata una funzione f (x) e un determinato intervallo a b sull'asse x. Potete immaginarlo come l'area della regione di piano colorata in giallo, che corrisponde quindi all'area sottesa dal grafico della funzione f (x) all'interno dello spazio compreso tra l'intervallo a e b. Vediamo anche il nome delle annotazioni: l'intervallo della porzione a e b, prende il nome di zona o intervallo di integrazione mentre la funzione di f (x) prende il nome di funzione integrata.

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Proviamo dunque a vedere come definire rigorosamente l'integrale, per farlo supponiamo di avere una funzione costante che valga sempre K, rappresentato graficamente da una retta orizzontale. Per le funzioni che assumono sempre lo stesso valore all'interno dell'intervallo che c'interessa, l'integrale viene definito dal prodotto della lunghezza dell'intervallo (b-a), moltiplicato per il valore costante che la funzione assume all'interno dell'intervallo (K).

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Se la funzione invece è costante a tratti o a scala, le quali assumono un determinato valore come per esempio K1 in un primo intervallo, K2 nel secondo e K3 nel terzo e K n in un ennesimo intervallo. In questo tipo di funzione l'integrale viene definito come la somma algebrica delle aree con segno dei vari rettangoli che si vengono a creare in corrispondenza di ciascuno dei tratti in cui la funzione è costante.

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Quando invece la funzione non è costante il sotto-grafico ottenuto non è più una figura regolare ma un trapezio con un lato curvo. In questo caso si vanno a considerare delle funzioni a scala con valore maggiore o uguale della nostra funzione f (x). Quindi andiamo ad approssimare l'area della figura con l'integrale dell'area verde.

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