Integrali secondo Riemann: definizione e calcolo

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
15

Introduzione

Ecco una guida sugli integra secondo Riemann. Nel ramo dell'analisi matematica il primo contributo rigoroso rispetto alla definizione di integrale di una funzione su un intervallo fu dato da Bernard Riemann, studioso fisico e matematico tedesco, vissuto tra il 1726 e il 1866. Tradizionalmente la matematica veniva vista come disciplina del calcolo, veniva utilizzata per faccende di ordine pratico, ma fu in Germania che essa cominciò a entrare in abito mentale più astratto fatto di nuove forme geometriche e numeri. Riemann si immerse nelle rivoluzione matematica, introducendo una nuova teoria di geometria astratta che diede un impulso nuovo a questa scienza. Ma vediamo nel dettaglio gli integrali secondo Riemann, dandone la definizione e facendone il calcolo.

25

Supponiamo che ci venga assegnata una funzione f (x) e un determinato intervallo a b sull'asse x. Potete immaginarlo come l'area della regione di piano colorata in giallo, che corrisponde quindi all'area sottesa dal grafico della funzione f (x) all'interno dello spazio compreso tra l'intervallo a e b. Vediamo anche il nome delle annotazioni: l'intervallo della porzione a e b, prende il nome di zona o intervallo di integrazione mentre la funzione di f (x) prende il nome di funzione integrata.

35

Proviamo dunque a vedere come definire rigorosamente l'integrale, per farlo supponiamo di avere una funzione costante che valga sempre K, rappresentato graficamente da una retta orizzontale. Per le funzioni che assumono sempre lo stesso valore all'interno dell'intervallo che c'interessa, l'integrale viene definito dal prodotto della lunghezza dell'intervallo (b-a), moltiplicato per il valore costante che la funzione assume all'interno dell'intervallo (K).

Continua la lettura
45

Se la funzione invece è costante a tratti o a scala, le quali assumono un determinato valore come per esempio K1 in un primo intervallo, K2 nel secondo e K3 nel terzo e K n in un ennesimo intervallo. In questo tipo di funzione l'integrale viene definito come la somma algebrica delle aree con segno dei vari rettangoli che si vengono a creare in corrispondenza di ciascuno dei tratti in cui la funzione è costante.

55

Quando invece la funzione non è costante il sotto-grafico ottenuto non è più una figura regolare ma un trapezio con un lato curvo. In questo caso si vanno a considerare delle funzioni a scala con valore maggiore o uguale della nostra funzione f (x). Quindi andiamo ad approssimare l'area della figura con l'integrale dell'area verde.

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Università e Master

Teorema di Gauss-Bonnet: dimostrazione

Il Teorema di Gauss-Bonnet è un importante teorema di geometria differenziale. Stabilisce un fondamentale asserto sulle superfici, collegando la propria geometria (nel senso di curvatura), alla loro topologia (nel senso della caratteristica di Eulero)....
Superiori

Guida all'integrazione numerica

L'integrazione numerica rappresenta un complesso calcolo matematico che permette di eseguire degli studi di funzione completi, stimando le aree dei grafici e delle figure. Ciò determina il calcolo dei cosiddetti integrali (espressi dalla lettera "esse...
Superiori

Matematica: appunti sugli integrali definiti

C'è chi è del parere che la matematica è una materia scientifica che supporta le altre scienze e offre strumenti per comprenderle al meglio. Sostenitore di questa tesi, Galileo Galilei afferma che il libro della natura è scritto nel linguaggio della...
Università e Master

Teorema di de Branges: dimostrazione

L'analisi matematica è una materia piuttosto contorna. Prende in considerazione delle regole della matematica classica e le applica a concetti più astratti per ottenere elementi ancor più complessi. Per chi studia ingegneria avrà sicuramente molta...
Superiori

Calcolo degli integrali definiti e indefiniti

Nell'analisi matematica, l'integrale è l'operatore che, nel caso di una funzione con una sola variabile, associa alla funzione stessa l'area in un grafico con un dato intervallo all'interno del dominio (a, b). All'interno di questa guida vi insegneremo...
Superiori

Come calcolare l'integrale definito

In questa guida vogliamo aiutare tutti i nostri lettori, a capire come poter calcolare, nel migliore dei modi ed in maniera semplice e veloce, l'integrale definito, in modo tale da poter sapere quando farlo.L'integrale è uno degli operatori matematici...
Superiori

Come calcolare la convergenza di un integrale

La matematica è una delle materie più temute dallo studente medio. Sin dalle scuole dell'obbligo è il principale spauracchio di intere classi, ed è considerata disciplina per "secchioni". Col proseguire del corso di studi, teoria ed esercizi diventano...
Superiori

Come risolvere un integrale curvilineo

Nell'analisi matematica, uno degli argomenti forse più ostici agli studenti è quello del calcolo integrale. Sugli integrali esistono molteplici trattazioni e di essi ne esistono di diverse tipologie. Molti sono i teoremi che facilitano e permettono...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.