Il teorema di Taylor

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Buona parte dell'analisi matematica è formata da teoremi elaborati nel passato e funzionanti ancora oggi, segno della grande apertura mentale delle eccezionali menti del passato e che ancora in epoca contemporanea non smettono di stupire grazie all'incredibile funzionalità delle formulazioni. Tra i tanti teoremi che affollano i libri di testo di analisi matematica, il teorema di Taylor ricopre un'importanza fondamentale in quanto si ricollega a tutta una serie di teoremi e dimostrazioni sia coeve che successive al lavoro svolto dal matematico omonimo, Brooke Taylor. Vediamo quindi come si articola il teorema in questione partendo da alcune definizioni sino ad arrivare alla dimostrazione del teorema stesso.

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Occorrente

  • Carta e penna
  • Libro di testo di analisi matematica
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Generalità sul teorema di Taylor

In analisi matematica, il teorema di Taylor si occupa di fornire delle approssimazioni a proposito di una funzione differenziabile attorno ad un punto specifico. Per far ciò è necessario passare dai polinomi di Taylor, ovvero delle funzioni particolarmente semplici da utilizzare per risolvere diversi problemi in analisi matematica, soprattutto dal punto di vista delle approssimazioni. Il teorema di Taylor può produrre diversi tipi di resto, noti come "resto di Peano", "resto di Cauchy", "resto integrale" e "resto di Lagrange". In quest'ultimo caso viene inoltre considerato una sorta di estensione del teorema di Lagrange stesso. In sostanza, obiettivo del teorema di Taylor è quello di trasformare una funzione continua e derivabile in una somma di funzioni polinomiali.

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Dimostrazione del teorema di Taylor

Vediamo ora la dimostrazione del teorema di Taylor, tenendo conto delle funzioni di una variabile. Per prima cosa consideriamo un intervallo "a, b" all'interno dell'insieme dei numeri reali, e un punto x0 appartenente all'intervallo in questione. Sia data la funzione "f" nell'intervallo (a, b) e nell'insieme dei numeri reali, con la possibilità di derivare la funzione per un numero di volte pari a n-1 sempre all'interno dell'intervallo (a, b), e sia inoltre "n" maggiore o uguale a 1; e si supponga infine che la derivata "n-esima" della funzione elevata a "n" sia continua nel punto x0. Dopo aver definito il polinomio di Taylor, si ha che la funzione f (x) è uguale alla somma tra Tn (f, x) e Rn (x). Nello specifico, Rn (x) corrisponde al resto del teorema, ed è esprimibile in varie forme a seconda delle necessità.

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Altre considerazioni sul teorema

Il teorema di Taylor è facilmente associabile alle formule di Maclaurin, dal nome del matematico scozzese che le sviluppò in seguito allo studio del teorema del britannico. Entrambe le formule, quelle di Taylor e quelle di Maclaurin, si prepongono come obiettivo quello di approssimare una funzione con polinomio avente grado "k" (arbitrario) localizzato in x0 nel caso di Taylor e in 0 nel caso di Maclaurin. Nel caso in cui si desiderassero altre informazioni sul teorema di Taylor e sulla sua dimostrazione consultate il link: http://cide.univr.it/aperetti/matematica/dispense_10cfu/parte_II/formula_di_Taylor.pdf
.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Prima di passare allo studio, alla dimostrazione e agli esercizi con il teorema di Taylor è necessario conoscere e sapersi destreggiare con abilità nei concetti chiave dell'analisi matematica, senza i quali è assai difficile, se non impossibile, tentare un approccio immediato con questo e altri teoremi relativi al ramo matematico in questione.
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