Il piano euclideo e le sue trasformazioni geometriche

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La geometria euclidea è la geometria che si basa sui cinque postulati di Euclide e in particolar modo sul postulato delle parallele che afferma che date due rette parallele e tagliate da una trasversale: la somma degli angoli è pari a 180°. Sul piano euclideo è possibile effettuare delle trasformazioni geometriche cioè un qualsiasi procedimento che ci permette di tramutare una figura in un'altra lasciando che i punti siano in corrispondenza biunivoca con quella iniziale. Questo significa che dopo la trasformazione effettuando il procedimento inverso possiamo tornare al punto di partenza.

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Occorrente

  • Carta e penna
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Esistono due tipo di congruenza: diretta e inversa. In generale si dice che due figure sono direttamente congruenti se leggendo le lettere dei vertici in senso antiorario queste coincidono tra le due figure. Se invece una figura deve essere ribaltata sull'altra per essere congruente si dice che le due figure sono inversamente congruenti. Quindi ricapitolando nel primo caso basta fare un movimento sul piano mentre nel secondo è necessario uscire dal piano e rovesciarne una. Se appoggiamo le nostre mani su una superficie ci accorgiamo che sono inversamente congruenti.

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Le trasformazioni isometriche (iso:"uguale" menton:"misura") variano soltanto la posizione degli oggetti e possono essere classificate in: traslazioni (l'immagine viene trascinata sul piano), rotazioni (l'immagine viene fatto girare attorno ad un punto) e simmetrie (l'immagine viene capovolta). Con questi ultimi esempi abbiamo affrontato tutte le trasformazioni possibili.

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La figura che si ottiene dopo la trasformazione si dice trasformata o corrispondente. Ora vediamo alcuni esempi di trasformazione geometrica. Uno spostamento sul piano può essere considerato una trasformazione che interviene sui singoli punti della figura cambiando le coordinate. Un rimpicciolimento, un ingrandimento o una deformazione possono essere considerate trasformazione geometriche se i punti dell'originale con la figura trasformata hanno una corrispondenza univoca. Se una figura non cambia forma, dimensione o posizione queste variabili vengono chiamate invarianti della trasformazione. Studiando questo argomento è d'obbligo avere ben presente le congruenze. La definizione dice che due figure sono congruenti se e solo se sovrapposte coincidono perfettamente per ogni punto. Quindi nello specifico hanno le stesse identiche misure: 2 segmenti avranno la stessa lunghezza, 2 angoli la stessa ampiezza e 2 figure piane la stessa estensione. Quindi per la congruenza abbiamo che forma e dimensione sono invarianti mentre la posizione può essere una variante.

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Consigli

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  • Le immagini completano il testo con degli esempi pratici

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