Il limite in matematica

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica è una materia piuttosto vasta e complicata che richiede moltissimi anni per essere appresa e soprattutto capita. Non sono molte le persone che si interessano a questa materia e che sono in grado di capirla ed appassionarcisi. Per poterla studiare bene e avere poche difficoltà in futuro è bene partire da buone basi, studiarla fin da piccoli, ma soprattutto avere buoni insegnanti in grado di spiegarla bene. Non sempre è così, e alle volte bisogna mettersi in paro e cercare le informazioni necessario in altri contesti e luoghi, che possano spiegarne i concetti in maniera più semplice e basilare. Uno degli argomenti più difficili da capire in matematica è quello di limite.
Il limite in matematica è un concetto generalmente semplice, che non richiede grandi difficoltà, ma che spesso mette in crisi svariati studenti che non capiscono che cosa significa fare o trovare un limite. In italiano il limite vuol dire " linea di demarcazione, confine, dove spesso non si può andare oltre", in matematica non è proprio così, infatti, il limite sta ad indicare l'andamento di una determinata funzione, nel momento che si avvicina ad uno specifico valore, quindi all'aumentare illimitato di un evento (successione dei limiti). In matematica i limiti vengono usati per definire la continuità, la derivazione e l'integrazione. In questa guida spiegheremo in pochi passaggi cosa è un limite e come si calcola, cercando di far luce su questo spinoso argomento.

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Occorrente

  • In realtà niente, solo foglio e penna.
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Esaminiamo alcune definizioni:
"Il limite di una successione (A-n) dei numeri reali, prevede come limite il numero A, se al crescere di n, i termini della successione sono arbitrariamente vicini al valore A." Una successione può anche non avere limiti.
Il limite di una funzione matematica si collega con il limite di successione. Quindi bisognerà prima studiare e capire svolgendo gli accurati esercizi matematici il limite di successione per poi andarlo ad applicare ad una funzione. Il limite è un concetto che in matematica viene esteso anche agli insiemi, e in questo caso prende il nome di limite insiemistico."data una successione di insiemi (A nnn), l'insieme limite è definito come quello che contiene gli elementi che stanno nel maggior numero di insiemi di successione." In generale la definizione possedere un limite, si riferisce ad una successione di insiemi.

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Prima di introdurre il concetto di limite bisogna fare una premessa:
Una retta = Insieme di punti infiniti. Un segmento = Insieme di punti infiniti (non facciamoci influenzare dalle conoscenze delle elementari).
Ora vediamo qualche esempio
Bene, ora prendiamo un intorno di punti sia a destra sia a sinistra di X0 (x zero), quindi si avrà : - delta X0 + delta (dove X0 è un numero a piacere, e delta indica un altro numero).

Questa scrittura ci fa capire che fra -delta, x0 e + delta ci sono infiniti punti, quindi numeri.
Ma ora, tornando allo studio del limite, quando è che una funzione matematica ammette un limite? E che correlazioni ci sono con i valori infiniti e il limite stesso?

La prima domanda è risposta dalla formula matematica del limite, ossia :

Ɛ Ǝ x ∈ I (x0) │ │ f (x) -L│˂ Ɛ

Che si legge: Fissato un epsilon a piacere esiste quando x appartiene all'intorno di X0 tale che valga il valore assoluto (f (x) -limite) minore di epsilon.

Epsilon è un numero piccolo a piacere, quanto piccolo? Quanto voglio, spesso 0,9.

Quindi una funzione ammette limiti quando essa si può avvicinare infinitamente al limite in un punto.
Abbiamo visto che una funzione ammette un limite quando essa si può avvicinare infinitamente al limite, ma che relazione c'è con l'infinito?
Un limite è un valore a cui non possiamo raggiungere, ma possiamo solo avvicinarci. Ecco che i numero allora non ci servono più, quando calcoliamo un limite non riusciremo sempre a trovare il punto esatto in cui esso c'è, ma dovremo utilizzare il calcolo infinitesimale, utilizzando i due valori +infinito e -infinito.
Questi due valori ci permettono di capire in quale intorno di punti si trova il limite stesso e come la funzione si comporterà.

Esempio: Per capire se un limite tende a +∞ oppure a -∞ bisogna distinguere il limite destro e il limite sinistro della funzione tangente.
In questa funzione il limite della tangente con x che tende a 0, il limite destro va a + infinito, il limite sinistro va a meno infinito. Poiché i valori andranno dal più+ grande al più piccolo fino ad arrivare a zero, per quanto riguarda il limite destro; per quanto riguarda il limite sinistro i valori andranno da sinistra verso destra fino ad arrivare allo zero. SI fermano allo zero perché x tende a zero.

Un limite può tendere a qualsiasi numero, anche a infinito, e noi possiamo studiare come si comporta la funzione in quel determinato limite.

Nella funzione logaritmica per esempio, con il limite di x che tende a infinito, la funzione sarà +infinito.

Continua la lettura
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I tre teoremi fondamentali dei limiti:
1. Il limite è unico. Se il limite destro e il limite sinistro di una funzione non coincidono nello stesso punto esso non è un limite, quindi il limite è UNICO.

2. Teorema della permanenza del segno:
ipotesi: limite f (x)=l (limite) con l>0
tesi: Ǝ I (x0) │f (x)0

3. Teorema del confronto:
ipotesi: limite f (x)=l con x che tende a X0 limite g (x)=l con x che tende a x0 f (x)

Studiare i limiti richiede molto tempo, pazienza ed energia, ma seguendo quanto spiegato i questa guida, sarete in grado di capire e calcolare un limite abbastanza velocemente. Se però avete ancora qualche dubbio, è bene che vi rivolgiate al vostro professore, e chiedergli di rispiegarvelo di nuovo, non c'è nulla di male a domandare. Vi auguro quindi buono studio.
Alla prossima.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Tanti esercizi!

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