Come calcolare il limite in matematica

Tramite: O2O 14/07/2018
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La matematica è una materia piuttosto vasta e complicata che richiede moltissimi anni per essere appresa e soprattutto capita. A volte sembra facile capirla e stabilirne tutti i risultati ma non sempre, la matematica, si presenta cosi. Sono molte, le volte, dove bisogna mettersi in paro e cercare le informazioni necessarie in altri contesti e luoghi, che possano spiegarne i concetti in maniera più semplice e basilare. A volte non basta basare le proprie conoscenze su qualcosa che abbiamo imparato in passato perché gli argomenti possono susseguirsi in maniera obbiettiva e diversa, e uno degli argomenti più difficili da capire in matematica è quello del limite. Il limite, in matematica, è un concetto generalmente semplice che non richiede grandi difficoltà, ma che spesso mette in crisi svariati studenti che non capiscono che cosa significa fare o trovare un limite tanto da fargli prendere la strada più confusa. In italiano il limite vuol dire " linea di demarcazione, confine, dove spesso non si può andare oltre", c'è da ragionare, che alcuni vocaboli italiani, sono in netto contrasto con alcune formule matematiche, infatti, in matematica, il limite sta ad indicare l'andamento di una determinata funzione, nel momento che si avvicina ad uno specifico valore, quindi all'aumentare illimitato di un evento (detto successione dei limiti). In matematica, quindi, i limiti vengono usati per definire la continuità, la derivazione e l'integrazione. Tutto l'opposto di ciò che il vocabolo italiano ci propina. Tuttavia, il concetto basilare sta in questa guida, dove spiegheremo, in soli pochissimi passaggi, cos'è un limite e come si calcola, cercando di far luce su questo spinoso ma interessante argomento che interessa la maggior parte degli studenti che hanno sete di imparare le determinate regole che prendono in risalto come calcolare il limite matematico.

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Occorrente

  • Molto impegno e l'ausilio di un foglio e una penna.
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Le basi matematiche

Non sono molte le persone che si interessano a questa materia e che sono in grado di capirla cosi tanto dall'essere appassionati. Per poterla studiare bene e avere poche difficoltà in futuro è bene partire da buone basi, studiarla fin da piccoli, ma soprattutto avere buoni insegnanti in grado di spiegarla bene. Solo cosi potremmo capire nel dettaglio un argomento importante come i limiti matematici. Avere delle buone basi è il primo passo per poter svolgere i seguenti limiti in maniera soddisfacente.

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Il limite di successione

Nel limite matematico vi possiamo trovare un elemento fondamentale detto "limite di successione" questo limite ricopre un compito molto importante, ma per capire meglio facciamo guidare dalle seguenti definizioni riguardante il limite di successione stesso. Prima di iniziare, dobbiamo sapere che il limite di una successione (detta "A-n") dei numeri reali, prevede come limite il numero A, se al crescere di n, i termini della successione sono arbitrariamente vicini al valore A." Una successione può anche non avere limiti.
Il limite di una funzione matematica si collega con il limite di successione, quindi, bisognerà prima studiare e capire svolgendo gli accurati esercizi matematici riguardanti il limite di successione per poi andarlo ad applicare ad una funzione. Il limite è un concetto che in matematica viene esteso anche agli insiemi, ed è proprio in questo caso che ricorriamo ad un termine altamente matematico detto "limite insiemistico". Una successione di insiemi (che prende le iniziali di "A nnn"), è definito come quello che contiene gli elementi che stanno nel maggior numero di insiemi di successione." Per capire bene il punto prendiamo in considerazione, che con la definizione "possedere un limite", si riferisce ad una successione di insiemi.

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Le funzioni del limite

Prima di introdurre il concetto di limite bisogna capirne tutte le sue funzioni,in primo luogo possiamo parlare di una funzione detta "retta" (dove in essa vi possiamo trovare un insieme di punti infiniti). Una seconda funzione, invece, prende il nome di "segmento", anch'esso necessita di un insieme di punti infiniti ma non facciamoci influenzare dalle conoscenze delle elementari. Detto ciò ora vedremo qualche esempio in grado di capire nel dettaglio le varie funzioni del limite.
Prendiamo un intorno di punti sia a destra sia a sinistra di X0 (x zero), quindi si avrà : - delta X0 + delta (dove X0 è un numero a piacere, e delta indica un altro numero).

Questa scrittura ci fa capire che fra -delta, x0 e + delta ci sono infiniti punti, quindi numeri.
Ma ora la domanda che dovremmo porci è: Tornando allo studio del limite, quando è che una funzione matematica ammette un limite? E che correlazioni ci sono con i valori infiniti e il limite stesso?
La prima domanda puo trovare una risposta esauriente data dalla formula matematica del limite, ossia :

? ? x ? I (x0) ? ? f (x) -L?? ?

Che si legge: Fissato un epsilon a piacere esiste quando x appartiene all'intorno di X0 tale che valga il valore assoluto (f (x) -limite) minore di epsilon. Ricordiamo inoltre che il valore epsilon è un numero piccolo a piacere, che si puo determinare in qualsiasi numero piccolo vogliamo ossia, spesso 0,9.

Quindi una funzione ammette limiti quando essa si può avvicinare infinitamente al limite in un punto. Abbiamo visto che una funzione ammette un limite quando essa si può avvicinare infinitamente al limite, ma che relazione c'è con l'infinito?
Un limite è un valore a cui non possiamo raggiungere, ma possiamo solo avvicinarci. Ecco che i numeri allora non ci servono più. Tutto questo perché quando calcoliamo un limite non riusciremo sempre a trovare il punto esatto in cui esso c'è, ma dovremo utilizzare il calcolo infinitesimale, utilizzando i due valori +infinito e -infinito. Questi due valori ci permettono di capire in quale intorno di punti si trova il limite stesso e come la funzione si comporterà. Ma per capire nel dettaglio se un limite tende a +? oppure a -? bisogna distinguere il limite destro e il limite sinistro della funzione tangente facciamoci guidare da un esempio:
In questa funzione il limite della tangente con x che tende a 0, il limite destro va a + infinito, il limite sinistro va a meno infinito. Poiché i valori andranno dal più+ grande al più piccolo fino ad arrivare a zero, per quanto riguarda il limite destro; per quanto riguarda il limite sinistro i valori andranno da sinistra verso destra fino ad arrivare allo zero. Si fermano allo zero perché "x " tende a zero. Un limite, quindi, può tendere a qualsiasi numero, anche a infinito, e noi possiamo studiare come si comporta la funzione in quel determinato limite. Per rimanere in tema della funzione di un limite c'è da considerare che nella funzione logaritmica per esempio, con il limite di x che tende a infinito, la funzione sarà +infinito.

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I teoremi

I limiti in matematica, godono di altre funzionalità che chiameremo teoremi fondamentali dei limiti. In effetti, in essi, ne possiamo trovare tre con i determinati nomi: limite unico, teorema della permanenza del segno e infine il teorema del confronto. Tutti e tre i determinati teoremi hanno un ruolo importante per la riuscita di tale funzione, tuttavia, scopriremo a cosa è data la loro formula:

1. Il limite è unico. Se il limite destro e il limite sinistro di una funzione non coincidono nello stesso punto esso non è un limite, quindi il limite è UNICO.

2. Teorema della permanenza del segno:
ipotesi: limite f (x)=l (limite) con l>0
tesi: ? I (x0) ?f (x)0

3. Teorema del confronto:
ipotesi: limite f (x)=l con x che tende a X0 limite g (x)=l con x che tende a x0 f (x).
Studiare i limiti richiede molto tempo, pazienza ed energia, ma seguendo quanto spiegato in questa guida, saremo in grado di capire e calcolare un limite abbastanza velocemente. Se però ci assale ancora qualche dubbio è bene rivolgersi al nostro professore e chiedergli di rispiegarlo di nuovo. Dopotutto, non c'è nulla di male a domandare cosi da poter levare dubbi e incertezze per quanto riguarda un argomento molto particolare come i limiti della matematica.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Ripassare e allenare la mente con molti esercizi.
  • Avere buone basi
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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