Il calcolo della distribuzione di Maxwell nei gas perfetti

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La teoria cinetica descrive i gas perfetti come particelle, atomi e molecole costantemente in movimento. James Clerk Maxwell (1831-1879) studiò le velocità di queste particelle, intorno a quella quadratica media. Nel 1859, con un calcolo esponenziale, realizzò un grafico della distribuzione della velocità di un gas. In particolare questo elemento gassoso aveva massa molare M e temperatura T.

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Occorrente

  • Nozioni di fisica e termodinamica
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Nel calcolo di Maxwell la distribuzione dei gas perfetti dipende dalla velocità v di ogni particella. Si esprime con l’espressione esponenziale P (v)= 4πA3/2v2e-Bv2. A e B sono le costanti. Si relazionano alla massa molare M e alla temperatura T attraverso le espressioni: A= M/2 π R T; B= M/2 RT. La funzione P (v) si definisce normalizzata. L’area sotto la curva rappresenta il 100% delle molecole. Scegliere due velocità diverse fra loro, nominate v1 e v2. Imporre v1 < v2 e determinare nel grafico una frazione molecolare con le velocità v1 e v2. Il picco massimo della curva rappresenterà la velocità più probabile.

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Questo valore non coinciderà con la media delle velocità e neppure con la velocità quadratica media.
Analiticamente la velocità più probabile si determina dal calcolo: Vp=√(2RT/M), la velocità media vale Vm=√(8RT/πM). La velocità quadratica media viene determinata da Vqm=√(3RT/M).
M rappresenta il peso molecolare dei gas perfetti; R la costante universale dei gas perfetti e T la temperatura assoluta. Aumentando la temperatura assoluta la curva si sposterà verso destra. In questo modo, aumenta la velocità più probabile. L’andamento è associabile alla curva a campana di Gauss. Il modulo velocità risulta sempre positivo (mai negativo). Viene rappresentato sull'asse delle ascisse x e l’andamento è asimmetrico. Non esiste un limite superiore per le alte velocità. La curva di Maxwell rappresenta una coda asintotica.

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Nel grafico della distribuzione di Maxwell, la velocità quadratica media è leggermente più avanti rispetto alla velocità più probabile. Variano le temperature del gas e la velocità quadratica media aumenta in maniera direttamente proporzionale. La curva si allarga ed il valore rimane uguale a 1. La temperatura dei gas perfetti viene correlata alla velocità delle particelle. In conclusione, le particelle gassose hanno energia cinetica. Pertanto, ciascuna ha un suo moto variabile con le temperature. La distribuzione di Maxwell stabilisce che la velocità della particella gassosa viene compresa tra V e V+dv. Si esprime come:
dN/N= 4 π (M/2 π RT) 3/2 v2 e-Mc2/2RT dv.
N rappresenta il numero totale delle molecole.
dN/N sono le molecole con velocità tra v e v+dv.
M è il peso molecolare in Kg/mol.
T rappresenta la temperatura in gradi Kelvin.
R vale 8.31 J/mol K. È la costante universale dei gas. Porre sulle ordinate dN/N e sulle ascisse V. Il grafico rappresenterà la “curva della distribuzione di Maxwell nei gas perfetti”.

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