I solidi di rotazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Nella geometria euclidea o classica, che è quella che si studia comunemente a scuola, i solidi di rotazione rivestono un ruolo estremamente importante. I solidi di rotazione sono quelli che vengono generati dalla rotazione di una figura geometrica piana intorno ad una retta r, detta asse, secondo un angolo generico alfa. Quando alfa è un angolo giro, cioè 360 gradi, la rotazione è detta completa, in caso contrario si parla di rotazione incompleta. Leggendo questo tutorial si possono avere delle comode indicazioni su due solidi di rotazione di particolare interesse: cilindro e cono. Essi si ottengono effettuando una rotazione completa intorno all'asse che corrisponde con uno dei lati della figura generatrice. Esistono anche solidi con l'asse che non coincide con una parte della generatrice.

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Il cilindro

Il cilindro è un solido euclideo che viene generato dalla completa rotazione di un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati. Il lato attorno a cui si effettua la rotazione rappresenta la sua altezza; mentre gli altri due lati perpendicolari all'altezza sono detti raggi di base. Essi ruotando generano i due cerchi alle estremità del segmento dell'altezza e costituiscono le basi del cilindro. Un cilindro è equilatero se l'altezza è congruente al diametro della base, in altre parole se il rettangolo generatore è scomponibile in due quadrati. Generalmente a livello scolastico si prendono in considerazione solamente i cilindri retti, in cui l'altezza coincide con la retta che unisce i centri delle basi, perché sono particolarmente semplici da calcolare e introducono poi ai calcoli relativi ai solidi a rotazione parziale. Le figure più complesse spesso hanno bisogno di calcoli integrali per essere determinate, perché le formule esistenti sono macchinose e di poco interesse propedeutico.
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Aree e volume del cilindro

Il cilindro è particolarmente importante perché serve per modellizzare molti oggetti di uso comune, dalle lattine alle ruote, e la sua conoscenza ha molte applicazioni anche in fisica.
Se il cilindro è di tipo retto, cioè ottenuto usando come asse di rotazione un lato del rettangolo, le formule per aree e volumi sono molto semplici, note quelle relative a circonferenza e cerchio. Area laterale: rappresenta l'area della fascia laterale esterna del cilindro e si calcola moltiplicando la circonferenza di una delle basi per l'altezza. Area totale: bisogna fare la somma delle misure dell'area laterale e delle aree delle superfici di base che sono due cerchi. Volume: è dato dal prodotto della misura dell'area del cerchio di base moltiplicato per l'altezza del cilindro.

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Il cono

Anche il cono ha molti impieghi in fisica e in meccanica ed è molto importante comprenderne le proprietà geometriche.
Il cono viene generato dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti. L'altezza è il cateto attorno a cui ruota la figura; l'altro cateto rappresenta il raggio di base. Il cono è equilatero se l'apotema è di misura pari al diametro della base; è retto se l'altezza coincide con la retta che congiunge il vertice con il centro della base; è obliquo se non si verifica questa condizione. La superficie laterale del cono si ottiene dal prodotto delle misure della lunghezza della semicirconferenza di base per l'apotema. Quella totale si calcola tramite la somma tra la superficie laterale e l'area del cerchio di base.

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Aree e volume del cono

Il volume del cono è calcolato come un terzo del prodotto dell'area di base per l'altezza. Se si seziona un cono utilizzando con un piano parallelo alla base, si ottiene un solido di rotazione particolare detto tronco di cono ed un cono più piccolo. Il cono più piccolo è comunemente detto "simile" a quello originale, perché ha gli stessi angoli, in analogia con la geometria dei triangoli. Le misure delle aree del cerchio di base di un cono e di quello del tronco di cono corrispondente stanno in un rapporto di proporzioni tra loro come i quadrati delle misure delle distanze dal vertice. Un tronco di cono si può ottenere anche dalla rotazione completa di un trapezio rettangolo usando come asse di rotazione il lato che forma gli angoli retti e che non è parallelo, altrimenti si ottiene un cilindro sormontato da un cono. Il volume del tronco di cono si calcola sottraendo da quello del cono originale la misura di quello simile che è stato tagliato via.

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Estensioni

La conoscenza delle formule relative ai solidi euclidei di rotazione ci permette di ottenere anche le stime per aree e volumi di figure molto più complesse, ottenute sommando o sottraendo fra di loro due o più corpi solidi. Ruotando figure complesse che si ottengono dalla somma di triangoli, si rimane sempre nel campo della geometria euclidea e quindi si possono impiegare le formule semplificate senza dover far ricorso alla matematica degli integrali. Per quel che riguarda invece i solidi incompleti il calcolo è leggermente più macchinoso e si rimanda allo studente la ricerca di un metodo, che è intuibile dalla logica dei calcoli riportati sopra.

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