I prodotti notevoli in matematica

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

I prodotti notevoli in matematica sono una delle trattazioni più divertenti e pratiche della materia. Sono largamente impiegati nelle equazioni ed espressioni algebriche ed, attraverso le specifiche formule ad essi associate, è possibile risolvere molti calcoli tra polinomi. Saranno inizialmente difficili da memorizzare, ma a livello pratico, la loro applicazione risolve agevolmente numerosi quesiti, facendo risparmiare tempo e ragionamenti.

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Occorrente

  • Memorizzazione delle formule
  • Esercitazione nella risoluzione di espressioni con prodotti notevoli
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Il quadrato di binomio

Un binomio è un polinomio costituito da due elementi, ovverosia un'entità data dalla somma o differenza algebrica di due monomi.
Il quadrato di un binomio può essere una struttura del tipo (a + b)^2 o (a - b)^2.
La formula che risolve il primo caso è la seguente:
(a + b)^ 2 = a^2 + 2 a b + b^2
Nel secondo caso invece si ha:
(a - b)^2 =a^2 +2 a (-b) + (-b)^2 ovvero:
(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2
.

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Il cubo di binomio

Il cubo di binomio è una struttura polinomica del tipo (a + b)^3.
La sua risoluzione è affidata alla seguente formula:
(a + b)^3 = a^3 +3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3.
Ovviamente, se il binomio è dato dalla differenza tra due monomi, il risultato che si ottiene elevando alla terza la struttura, è il seguente:
(a - b)^3 = a^3 +3 a^2 (-b) + 3 a (-b)^2 + (-b)^3 = a^3 - 3 a^2 b + 3 a b^2 - b^3
.

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Il quadrato di trinomio

Un trinomio è un polinomio costituito da tre elementi legati algebricamente tra loro da una somma o da una differenza.
La formula che risolve il quadrato di trinomio del tipo (a +b + c)^3 è la seguente:
(a +b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 a b + 2ac +2 b c.
Nei quadrati di trinomio va prestata particolare attenzione ai segni quando i monomi sono negativi.

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Somma e differenza di quadrati

Quando ci troviamo di fronte al prodotto (a + b)(a - b) la struttura è detta differenza di quadrati.
La formula ad essa associata è (a + b)(a - b) = a^2 - ab + a b + (-b)^2.
La semplificazione di quest'ultima conduce all'espressione: (a + b)(a - b) = a^2 + b^2.
Se abbiamo una somma di quadrati (a + b)(a + b) il procedimento risolutivo è analogo al caso precedente.
Variando i segni si ottiene:
(a + b)(a + b) = a^2 + a b + a b + b^2.
Semplificando l'espressione questa diventa:
a^2 + 2 a b + b^2.

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Somma e differenza di cubi

La somma di due cubi è una relazione analitica del tipo a^3 + b^3 la cui risoluzione è possibile attraverso la seguente formula:
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - a b + b^2).
La dimostrazione è semplice ed immediata perché:
(a + b)(a^2 - a b + b^2) = a^3 - a^2 b + a b^2 + a^2 b - a b^2 + b^3.
Semplificando la stessa si ottiene: a^3 + b^3
La formula associata alla differenza di due cubi è invece la seguente:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + a b + b^2).
Risolvendo l'identità si ottiene appunto la differenza di cubi iniziali.
Porre particolare attenzione ai segni negativi quando si trattano prodotti notevoli di questo tipo.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Fare attenzione ai segni negativi
  • Il quadrato di un monomio negativo è sempre positivo

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