I metodi di Runge-Kutta

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

L'esame di analisi all'università ha decisamente la fama di essere uno dei peggiori incubi per gli studenti di ogni tempo. Decine e decine di dimostrazioni e teoremi, ed esercizi di enorme difficoltà, come nel caso delle equazioni differenziali ordinali. Si tratta di un particolare tipo di equazione in cui non è possibile rintracciare il valore preciso di una variabile, ma è possibile restringere il campo delle possibilità utilizzando alcuni metodi ideati da famosi matematici, ricordando sempre che non esiste un metodo migliore o più preciso degli altri. Uno dei metodi più conosciuti è quello iterativo discreto realizzato dagli studiosi Carl Runge e Martin Wilhelm Kutta interno al 1900. Se desiderate sapere di che si tratta, questa guida fa proprio al caso vostro: scopriamo insieme i metodi di Runge-Kutta.

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Occorrente

  • Libro di analisi 1
  • Calcolatrice scientifica
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Da differenziale a integrale

L'idea che in un certo senso fa da sfondo a tutta l'impostazione dei metodi di Runge-Kutta è che sia comodo andare ad apportare una trasformazione dell'equazione dalla forma differenziale alla forma di integrale. Per quest'ultima, infatti, esistono semplici formule numeriche che permettono di conoscere in maniera quantomeno approssimativa il valore dell'equazione, come nel caso delle formule di quadratura. In questo modo, l'unica difficoltà resta limitata proprio alla trasformazione dell'equazione da una forma all'altra.

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Tre parametri

Generalmente, ciascuno dei metodi di Runge-Kutta è caratterizzato da tre parametri: un vettore, una matrice e un secondo vettore, rispettivamente contrassegnati dai simboli alfanumerici "b", "a" e "0". Preso un generico problema di ordine n di Cauchy, bisognerà rapportare i tre parametri precedentemente descritti al problema di Cauchy. Esso è caratterizzato da un sistema di due equazioni differenziali, in cui sarà opportuno andare appunto ad applicare la trasformazione ad integrale, sostituendo opportunamente le lettere dei vettori e della matrice.

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Valore nel punto t1

Andando a risolvere il sistema di equazione di cui parlavamo nel passo precedente, otteniamo una soluzione approssimativa del valore dell'incognita in un punto t1, compreso all'interno di un ristretto intervallo t (in particolare t1 verrà a costituire approssimativamente il suo punto medio). A questo punto si applica la formula di quadratura e si confrontano i diversi t1 ottenuti tramite sostituzione: il passo successivo sarà fare una media ponderata dei vari valori al fine di ottenerne uno sufficientemente valido.

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