Guida alle equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado

Le equazioni rappresentano un argomento della matematica che non sempre risulta di facile comprensione per tutti gli alunni. Il motivo di tale difficoltà risiede, essenzialmente, nel numero elevato di regole, formule e teoremi. Attraverso i passi di questa guida cercheremo di capire cosa sono e come possiamo andare a risolvere le equazioni di grado superiore al primo, riducibili al primo grado. Se non si possiedono delle buone basi matematiche, apprese durante tutto il percorso scolastico precedente, non sarà sicuramente possibile colmare tutte le lacune attraverso i concetti che spiegheremo. Tuttavia, molto probabilmente, la seguente lettura vi faciliterà il percorso di apprendimento nel meandri di una materia non semplice, ma particolarmente utile. Il consiglio è comunque quello di studiare sempre con regolarità e non rimanere mai indietro con le lezioni, altrimenti si rischia di non riuscire più a recuperare in maniera adeguata.

• libro di matematica
• Penna e carta
• Calcolatrice scientifica

Partiamo subito dalla definizione basilare di equazione. L?uguaglianza tra due espressioni che posseggono una o più incognite, dette anche variabili, è detta equazione. Per poter risolvere un'equazione, bisogna andare a trovare tutti quei numeri che, una volta sostituiti alle varie incognite, danno come risultato un'uguaglianza vera: queste vengono definite soluzioni. Essendo ora a conoscenza di questa definizione, possiamo affermare che, per riuscire a ridurre un?equazione bisogna affidarsi alla legge di annullamento dei prodotti. Questa legge afferma che se un?equazione è uguale a zero, allora uno degli elementi presenti al suo interno deve essere anch'esso uguale a zero. Quest'ultima tecnica ha il vantaggio di lasciare soltanto i coefficienti interi e costanti, ma se invece è presente più di una frazione allora ogni singolo termine deve essere moltiplicato per i denominatori delle frazioni.

A questo punto, facciamo un esempio per comprendere meglio questa semplice regola che, solamente in alcuni casi, riconduce le equazioni al primo grado. Prendiamo un?equazione del tipo:
x^2 ? 4 = 0.
Intanto vediamo che l?equazione può essere scomposta in due fattori, considerato che quello che vedete è un polinomio di secondo grado. Avremo perciò: (x - 2)(x + 2) = 0.
Quindi, seguendo la legge di annullamento, bisogna affermare che: x ? 2 = 0 e x + 2 = 0.
Risolvendo queste semplicissime equazioni si otterrà quindi: x = 2 e x = - 2.
In questo modo, utilizzando dei termini matematici si può dire che l?equazione è verificata negli intervalli di tempo tra 2 e - 2: x = 2 V x = - 2.
Come potete notare da questi passaggi, i calcoli che bisogna svolgere sono veramente pochi e semplici.

Per i gradi superiori, non esiste alcuna formula generale (o più precisamente nessuna formula in termini di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, costanti arbitrarie e n-esima radice). Questo risultato è dimostrato nella teoria di Galois ed è noto come teorema di Abel-Ruffini. Questo, però, risulta applicabile solo con le equazioni di secondo grado, oppure con quelle riconducibili alle ultime attraverso la scomposizione. Ancora più utile è il teorema di Ruffini, che è in grado di permettere la scomposizione di qualsiasi equazione, riconducendola al grado più piccolo. Come potete vedere, i metodi di risoluzione sono svariati e tutti molto utili e applicabili a seconda dell?equazione che ci si trova di fronte. Ad ogni modo, la legge dell?annullamento è sicuramente la più semplice e la più veloce per quanto riguarda lo svolgimento dei calcoli.

Le equazioni di grado superiore al primo possono essere scritte nella forma a+b=c, dove a è una variabile e b e c sono delle costanti note. Questo argomento è uno dei più basilari e importanti per qualsiasi studente principiante di algebra e viene presentato per risolvere una varietà di applicazioni. Esiste esattamente una soluzione di un'equazione di grado superiore al primo riconducibile al primo grado, la cui affermazione può essere dimostrata con il metodo della contraddizione.
Qualora qualche concetto non vi fosse particolarmente chiaro, non vi resta che consultare il vostro testo di matematica o, meglio ancora, chiedere spiegazioni direttamente al vostro insegnante. Per una comprensione ancora più efficace, inoltre, sarà opportuno esercitarsi, magari utilizzando un libro di esercizi che, oltre a mostrare il risultato dell'equazione, vi spieghi tutti i passaggi da effettuare.

• Studiate bene tutti i giorni, senza rimanere indietro con il programma.

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