Guida alle disequazioni logaritmiche

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica, qualche volta, può sembrare impossibile da capire a causa dello svariato numero di regole connesse alle varie operazioni. Non per niente, c’è chi la ama e c’è chi la odia! Ecco, comunque, per voi una guida alle disequazioni logaritmiche, che può esservi d’aiuto per capire al meglio come funzionano.

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La simbologia

Per poter risolvere una disequazioni logaritmiche dovete conoscere e ricordare bene due cose: le proprietà dei logaritmi ed i grafici dei logaritmi.
Un'altra conoscenza che potrebbe essere utile è la risoluzione di una disequazione. Per la simbologia utilizzerò: ln per indicare il logaritmo naturale (in base “e” cioè il numero di Nepero 2,7182) oppure log_a per indicare il logaritmo in base “a”. Quando utilizzerò log e basta indicherò il logaritmo in base 10. Con * indicherò la moltiplicazione e con / il diviso e con ^ l'elevazione a potenza.

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I grafici dei logaritmi

Per poter disegnare il grafico di un logaritmo abbiamo bisogno di conoscere la base. Attraverso il grafico, oltretutto, si può capire come sono i valori del logaritmo in alcuni punti critici, ovvero dove si annulla, dove vale “-infinito” e dove vale “+infinito”.
Esaminiamo il primo disegno, in cui risultano rappresentati alcuni logaritmi con basi maggiori di 1.
Esiste il punto x = 1, in cui il logaritmo si annulla sempre. Da questo si può capire che ln (1) = 0. Inoltre, quando la x = +infinito il logaritmo tende a +infinito, quindi: ln (+infinito) = +infinito. Per terminare, quando x = 0 il logaritmo tende a – infinito, quindi: ln (0) = -infinito
Esaminiamo il secondo disegno, in cui risultano rappresentati alcuni logaritmi con basi comprese tra 0 e 1.
Anche in questo caso, nel punto x = 1 il logaritmo si annulla.
Però, quando x = +infinito il logaritmo tende a -infinito e quando x = 0 allora il logaritmo tende a +infinito.

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Proprietà dei logaritmi

Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi: ln (x*y) = ln (x)+ln (y). Il logaritmo della divisione è uguale alla differenza dei logaritmi: ln (x/y) = ln (x)-ln (y) Il logaritmo di una potenza è uguale all'esponente moltiplicato per il logaritmo: ln (x^k) = k*ln (x) con k che può essere uguale ad un numero razionale qualsiasi. Quindi possiamo studiare anche argomenti come 1/x che non è altro che x^(-1), in un caso del genere, il logaritmo può essere elaborato nella forma: ln (1/x) = ln (x^(-1)) = -1*ln (x).
Ricordiamo, per di più, l'utile proprietà del cambio di base che da la possibilità di trasformare, ad esempio un logaritmo in base “a” in un logaritmo naturale: log_a (x) = ln (x)/ln (a)
L'ultima importante proprietà che dobbiamo ricordare è la seguente: log_a (a)=1, cioè il logaritmo con la base uguale all'argomento e uguale a 1.
Quando abbiamo una costante, quindi, possiamo sempre eseguire queste operazioni e calcolare un logaritmo nella base che preferiamo: 3= 3*log_a (a) = log_a (a^3).

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Un'altra importante cosa da ricordare è che la funzione esponenziale è l'inverso della funzione logaritmo. Questo significa che e^(ln(x))=ln(e^x)=x, cioè le funzioni si annullano a vicenda.

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