Guida ai limiti notevoli

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Studiare la matematica, molto spesso può risultare un'operazione abbastanza complessa proprio perché gli argomenti trattati da questa disciplina non sono sempre molto facili da comprendere sopratutto se si hanno a disposizioni poche informazioni. Con l'aiuto delle moltissime guide presenti su internet, potremo molto facilmente riuscire ad ottenere tutte le informazioni che desideriamo sui vari argomenti trattati da questa disciplina, in questo modo riuscire a studiare risulterà molto più semplice. Tutto quello che dovremo fare sarà utilizzare un computer connesso ad internet, per poter effettuare molto semplicemente una ricerca utilizzando un qualsiasi browser. Nei passi successivi, in particolare, vedremo un guida che ci aiuterà a comprendere meglio i limiti notevoli.

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Occorrente

  • Leggere con attenzione la guida.
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Limiti di funzioni trigonometriche

Consideriamo i limiti in cui compaiono funzioni trigonometriche (ovvero le funzioni di un angolo): un limite frequente, valido per x che tende a 0, è sen (x)/x=1. Questa relazione può essere verificata tramite dimostrazione, ma risulta evidente anche solo tracciando i grafici della funzione f (x)=sen (x) e della funzione f (x)=x, che è la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Si evincerà che, in prossimità dell'origine degli assi O (0;0), i due grafici tendono a sovrapporsi, cioè le due funzioni, man mano che x si avvicina allo zero, tendono ad uguagliarsi: il loro rapporto sarà quindi 1.
Se x non tende a 0, ma ad un valore "a", che compare anche al denominatore nell'espressione "x-a", possiamo comunque sfruttare il limite notevole operando un cambio di variabile. Per esempio, se x tende a 2 ed al denominatore troviamo x-2, possiamo porre T=x-2 e calcolare il limite per T che tende a 0, ricordandoci di sostituire x con T+2. Da questo primo limite, sfruttando le formule della trigonometria, se ne possono facilmente dedurre altri, tutti validi per x che tende a 0. Essi sono innanzitutto (1-cosx)/x=0, poi (1-cosx)/x^2=1/2 e infine tgx/x=1.

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Limiti di funzioni esponenziali

Riguardo ai limiti notevoli, riguardanti le funzioni esponenziali e logaritmiche, limite fondamentale, per x che tende a ∞, è (1+1/x)^x=e.
Raramente esso si trova nella sua forma pura: solitamente la x è accompagnata da coefficienti e questo varia il risultato del limite. Ecco, a tal proposito, qualche esempio: (1+1/x)^3x=e^3 oppure (1+1/7x)^x= radice settima di x. Per risolvere invece (1-5/x)^x: possiamo utilizzare una sostituzione: T=-5/x. Anche in questo caso possiamo dedurre una serie di altri limiti notevoli, validi tuttavia per x che tende a 0: ln (1+x)/x=1 e (e^x-1)/x=1.

Continua la lettura
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Conclusioni finali

Possiamo operare, per la risoluzione dei limiti, anche semplicemente sostituendo, all'interno di qualsiasi funzione, senx, tgx o ln (1+x) con x, oppure 1-cosx con x^2/2, sempre però solo nel caso in cui x tende a zero.
A questo punto non ci resta che provare subito a risolvere i limiti, utilizzando tutte le indicazioni riportate nei passi precedenti.

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