Gli elementi di Euclide: struttura e contenuti

Gli "Elementi" di Euclide consiste in un trattato di 13 libri su vari argomenti matematici. È l'opera matematica più importante dalla cultura greca antica, composta tra il IV e III secolo a. C. Tratta di applicazione geometrica pratica, ma con il rigore del ragionamento matematico astratto. Infatti comprende sia proposizioni (enunciati dimostrabili) sia risoluzioni di problemi. Vediamo nel dettaglio come è la struttura e quali sono i contenuti degli Elementi di Euclide.

• Libro di Geometria
• Libro di Aritmetica
• Calcolatrice

Gli Elementi di Euclide ha una struttura organizzata in 13 libri, in cui si trova sistematicamente tutta la geometria elementare. I primi 6 libri riguardano la geometria piana, dal settimo al decimo trattano i rapporti tra grandezze e gli ultimi tre parlano della geometria solida. Le basi del trattato sono poste nel primo libro, in cui fornisce 23 definizioni. Queste non vengono dimostrate e trattano i concetti di punto, linea e superficie. Euclide li divide in 5 postulati e 5 assiomi, definite all'epoca dall'autore degli Elementi come "nozioni comuni". All'inizio di ogni libro, sempre per quanto riguarda la struttura, vi sono un gruppo di proposizioni, ovvero le definizioni per chiarire i concetti successivi. Le proposizioni seguenti rappresentano invece i veri e propri problemi o teoremi. I problemi terminano con la frase " come dovevasi fare", i teoremi con la frase " come dovevasi dimostrare". Infine per quanto riguarda la struttura i principi fondamentali degli Elementi hanno 3 categorie: definizioni, postulati o assiomi (come i postulati, ma più generali).

Per quanto riguarda i contenuti degli Elementi è essenziale partire dalle basi, quindi dal primo libro. In esso si tratta gran parte della geometria scolastica: l?uguaglianza dei triangoli, la teoria delle perpendicolari, la teoria delle parallele, la teoria dell?equivalenza dei poligoni. Il libro ruota attorno a due teoremi fondamentali: "la somma degli angoli interni di un triangolo uguale a due retti" e il famoso "teorema di Pitagora". È inoltre qui contenuto il postulato più famoso, il quinto, detto anche postulato delle parallele, soluzione alle critiche poste da Aristotele. Negli altri libri degli Elementi, fino al sesto, tratta sempre di geometria piana di più figure diverse. Si parla di triangoli, poligoni regolari inscritti e circoscritti e del cerchio.

Vediamo ora i contenuti delle altre sezioni degli Elementi di Euclide. I libri dal VII al X trattano dei rapporti fra le grandezze, anche con calcoli aritmetici. Contengono le applicazioni geometriche della teoria delle proporzioni, le teorie dei numeri interi e razionali, i radicali. In particolare tra questi il libro più complicato e lungo è il X, in cui si parla di rette irrazionali, con la teoria dei radicali. Gli ultimi tre libri degli Elementi di Euclide infine trattano di geometria solida. Si spiega come misurare le figure solide e si descrivono i soldi regolari.

• Studiate prima i postulati, gli assiomi e le definizioni, passate solo dopo alla risoluzione dei problemi.

• I fondamenti della geometria euclidea
• Esercizi di geometria euclidea