Geometria razionale: l'equivalenza fra figure piane

L?equivalenza tra figure piane viene stabilita attraverso determinati principi della geometria razionale. Le figure geometriche sono costituite da un insieme di punti, e vengono distinte in figure piane e figure solide. Mentre in quelle piane i punti sono collocati su uno stesso piano, in quelle solide i punti sono appartenenti a diversi piani nello spazio. La teoria della somiglianza si sviluppa allo stesso modo della congruenza. Innanzitutto, la maggior parte delle situazioni che coinvolgono la somiglianza possono essere ridotte a triangoli simili e stabiliremo quattro test di similarità per triangoli, corrispondenti ai quattro test di congruenza per triangoli. In secondo luogo, proprio come la congruenza era usata per dimostrare molti teoremi di base su triangoli e quadrilateri speciali, così la similarità ci permetterà di stabilire ulteriori importanti teoremi nella geometria. In questa guida, si spiegherà una parte importante della geometria razionale, ovvero l'equivalenza fra figure piane. Si tratta di un concetto non troppo complicato, ma per comprenderlo al meglio sarà necessario seguire attentamente tutto il procedimento.

• Un buon libro di geometria razionale

L'aumento proporzionale o la diminuzione delle lunghezze è chiamata la scala del disegno. Di solito è espresso in termini di rapporto, quindi l'argomento dei disegni in scala è strettamente correlato ai rapporti e alle frazioni. La trasformazione che produce un disegno in scala è un ingrandimento. Una trasformazione dell'ingrandimento preserva la forma della figura, ma aumenta o diminuisce tutte le distanze di un rapporto costante. Questo è diverso dalle tre trasformazioni che abbiamo già introdotto: traduzioni, rotazioni e riflessi producono tutti un'immagine che ha le stesse dimensioni e la stessa forma della figura originale. Il modulo, Congruence ha studiato le figure congruenti, che sono figure che possono essere mappate l'una all'altra da una sequenza di traduzioni, rotazioni e riflessioni. Le figure che possono essere mappate l'una all'altra da queste trasformazioni e ingrandimenti sono chiamate simili. Quindi due figure sono simili se un ingrandimento di uno è congruente all'altro. Due figure piane vengono chiamate equivalenti, quando hanno la stessa area ed occupano la medesima superficie del piano. Il principio di equivalenza è basato su tre specifiche proprietà ovvero: la proprietà riflessiva secondo cui qualsiasi figura geometrica è equivalente a se stessa.

La proprietà simmetrica, per la quale se si hanno due figure A e B, se A è equivalente a B, anche B sarà equivalente ad A. Proprietà transitiva, secondo la quale avendo tre figure A, B, C, se A è uguale a B e B è uguale a C, per la proprietà transitiva A sarà uguale a C.Per poter risolvere bene i problemi con il concetto di equivalenza, bisogna ricordare alcune regole. La prima è che se due triangoli hanno base e altezza uguali, sono equivalenti. La seconda è che se un parallelogramma ha la stessa altezza di un triangolo e la base pari a ½ della base del triangolo, le due figure sono equivalenti. La terza regola afferma che se un triangolo ha base uguale alla somma delle due basi di un trapezio isoscele e la stessa altezza, ha la sua medesima area. La quarta che considerando un poligono inscritto in una circonferenza, un triangolo che ha altezza uguale al raggio della circonferenza e base uguale al perimetro del poligono, occupa la sua medesima superficie. Una volta memorizzati i principi di equivalenza, la risoluzione dei problemi sarà estremamente semplificata.

Di seguito è riportato un esempio per chiarire il concetto di equivalenza. Ci sono due triangoli ABC e DEF. Il lato BC misura 6 cm ed è congruente a EF, ovvero ha la medesima dimensione. Anche la loro altezza è la stessa e misura 4 cm. Per dimostrare l?equivalenza tra le due figure bisogna calcolarne le aree. L?area di un triangolo si calcola con la formula:
base per altezza / 2. Pertanto si avrà:
BC ? AH/2 = 6?4/2 = 24/2 = 12cm²
EF ? DG/2 = 6?4/2 = 24/2 = 12cm²
Essendo uguali le aree si vede che le figure sono equivalenti, anche se non sovrapponibili.

• Il principio di equivalenza è dettato da regole ben definite. Dovete solo acquisirle ed esercitarvi.

• Equivalenza tra figure solidi e piane
• Equivalenza tra poligoni