Geometria analitica: l'iperbole

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La geometria analitica studia le figure geometriche attraverso il piano cartesiano, in cui ogni punto è definito da due coordinate; con il termine ascisse indichiamo l'asse delle x e con ordinate l'asse delle y. Nella guida che segue ci occuperemo di un'aspetto della geometria analitica: l'iperbole.
Vedremo nel dettaglio qual è la definizione di iperbole, quali tipi di iperbole esistono e quali sono le loro proprietà. In questo modo tutti gli studenti di geometria analitica avranno un'utile base per il ripasso in vista di prove di verifica o esami in genere.

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Occorrente

  • Necessità di approfondire e studiare l'iperbole
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L'iperbole sul piano cartesiano

Quando parliamo di iperbole, fissati due punti del piano cartesiano denominati F1 ed F2, intendiamo il luogo geometrico dei punti del piano aventi come costante la differenza tra i due fuochi. Questi ultimi si trovano in qualsiasi punto del piano ma se si trovano sugli assi cartesiani, simmetricamente rispetto all'origine, allora si parla di iperbole "riferita agli assi cartesiani".

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L'equazione canonica

L'equazione canonica dell'iperbole riferita agli assi è molto semplice da calcolare. Sapendo che le coordinate dei due fuochi sono F1=(-c,0) e F2=(c,0), per calcolare la differenza tra i due fuochi con coefficiente il punto P (x, y) generico nel piano, basterà applicare la regola di "differenza tra due punti" e si otterrà l'equazione: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 se si tratta dell'iperbole riferita all'asse delle ascisse e x^2/a^2 - y^2/b^2 =-1 se si tratta dell'iperbole riferita all'asse delle ordinate.

Continua la lettura
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L'equazione dell'iperbole

Da quanto detto si evince che per determinare l'equazione dell'iperbole in un dato esercizio di geometria bisogna conoscere rispettivamente: un fuoco e una direttrice (x=a^2/c), un fuoco e un punto dell'iperbole, l'eccentricità (e=c/a) e un fuoco o l'eccentricità e punto dell'iperbole, due punti dell'iperbole non simmetrici rispetto all'asse y o all'origine ed infine un fuoco e un vertice.
Parlando invece delle proprietà principali dell'iperbole riferita agli assi diremo che quest'ultima è una una curva limitata, è dotata di due assi di simmetria, esistono comunque due punti di intersezione tra l'asse x e l'iperbole (chiamati vertici) ed infine essa possiede due asintoti.

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L'iperbole equilatera

Una differente tipologia di iperbole è quella equilatera nella quale gli asintoti sono perpendicolari tra loro; in questo caso a e b saranno coincidenti e daranno origine all'equazione canonica:
x^2/a^2 - y^2/a^2 = 1.
Tra le maggiori proprietà dell'iperbole equilatera citiamo la sua eccentricità che vale esattamente la radice di 2, gli asintoti aventi come equazione y=x o y=-x, le coordinate dei fuochi definite come F1= (radice di 2,0) e F2=(-radice di 2,0), i vertici con coordinate V1=(1,0) e V2=(-1,0) ed infine la direttrice che ha equazione x=+radice di 2/2 o x=-radice di 2/2.

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Due diverse tipologie di iperbole equilatera

A sua volta l'iperbole equilatera si differenzia in altre due tipologie di iperbole: l'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti e l'iperbole equilatera traslata.
La proprietà più importante dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti è la coincidenza di questi ultimi con gli assi cartesiani; da ciò si evince che l'equazione canonica, ponendo K=a^2/2, è xy=K.
Da ultimo nell'iperbole equilatera traslata gli asintoti sono due rette parallele agli assi cartesiani; l'equazione canonica, ponendo X=x-g e Y=y-h, corrisponde quindi a quanto segue (x-g)(y-h)=K.
Sebbene la tematica dell'iperbole sia assia complessa e necessiti di approfondimenti e ripassi preliminari, le "dritte", citate in questa guida rappresentano comunque un'utile schematizzazione per il ripasso in vista di verifiche ed interrogazioni.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Per capire al meglio questa guida consiglio di avere prima di tutto delle basi di algebra e geometria

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