Geometria analitica: l'ellisse

Tramite: O2O 04/07/2017
Difficoltà: media
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Introduzione

L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano, per i quali è costante la somma delle distanze da due punti dati detti fuochi. Ciò significa che se prendiamo un punto P sull'ellisse in una posizione qualsiasi, calcoliamo la somma delle distanze dai due fuochi (F1, F2), e poi prendiamo un secondo punto sull'ellisse, il punto Q. Sempre in un punto qualsiasi, calcoliamo anche per lui la somma delle distanze dai due fuochi. Le somme di queste sono uguali tra di loro e devono essere uguali alla somma di qualunque altro punto che sta sull'ellisse. Ecco dunque come viene rappresentata nella geometria, analitica l'ellisse in tutte le sue sfaccettature.

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Ellisse centrata

Si può dimostrare che un'ellisse centrata nell'origine degli assi è simmetrica rispetto a questi, l'equazione è x2/a2 + y2/b2 = 1. I coefficienti a e b che compaiono in questa equazione hanno una interpretazione geometrica immediata. Il parametro a coincide con la misura del semiasse orizzontale dell'ellisse e quindi avremo che i due vertici sull'asse x dell'ellisse si troveranno rispettivamente nel punto di coordinate (a,0) e nel punto di coordinate (-a,0). Mentre il parametro b coincide con la misura del semiasse verticale dell'ellisse e da questo segue subito che le coordinate dei vertici che si trovano sull'asse y saranno rispettivamente (0, b) e (0,-b).

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Aspetto dell'ellisse

Se a è uguale a b, allora l'ellisse diventa una circonferenza. Questo è piuttosto intuitivo visivamente, nel senso che un'ellisse che ha i due semiassi della stessa lunghezza, è tanto larga quanto alta, quindi ha tutto l'aspetto di una circonferenza. Infatti se nell'equazione dell'ellisse chiamiamo il valore comune dei parametri a e b, R. L'equazione sarà x2/R2+y2/R2=1, o anche scritta come x2+y2=R2. E questa è proprio l'equazione di una circonferenza di centro nell'origine e raggio uguale a R. Se invece a è maggiore di b, allora l'ellisse sarà più larga che alta. I fuochi si trovano in posizione simmetrica rispetto all'asse x e ciascun punto che si trova sull'ellisse avrà la somma delle distanze dai due fuochi uguale a 2a.

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Eccentricità

La somma delle distanza di un qualunque punto che si trova sull'ellisse dai due fuochi deve essere pari a 2b. I fuochi devono distare dall'origine una distanza che si indica con c e che è uguale alla radice quadrata di b2 - a2. Quindi i fuochi si troveranno rispettivamente nei punti di coordinate (0, c) e (0,-c). Rimane da introdurre un'ultimo parametro definito eccentricità. Dato dal rapporto della semi distanza focale.

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