Formula di Eulero: dimostrazione

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Leonhard Paul Euler può essere considerato il più grande matematico svizzero, vissuto nel periodo illuminista. Fu accostato dai suoi contemporanei ai più grandi matematici della storia, da Euclide a Pitagora fino a Newton. Dedicò i suoi studi a tutte le branche della matematica, dalla geometria alla trigonometria, arrivando al calcolo infinitesimale. La formula di Eulero, può essere considerata forse il contributo più significativo del matematico nel campo dell'analisi complessa. Nella seguente guida, passo dopo passo, procederemo alla dimostrazione della Formula di Eulero.

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Enunciato

La formula in questione è stata dimostrata inizialmente da Roger Cotes all'inizio del '700, ma Eulero la riportò alla ribalta anche se l'interpretazione geometrica venne provata solo 50 anni più tardi, prima da Argand e poi da Gauss. Eulero riassunse la formula affermando che, per ogni numero reale x si ha: "e^i*x = cos (x)+i*sen (x)", in cui e rappresenta la base dei logaritmi naturali, mentre i è l'unità immaginaria, e seno e coseno invece si manifestano come funzioni trigonometriche. La relazione rappresentata evidenzia l'uso di numeri complessi in coordinate polari e ciò consegna la possibilità di definire il logaritmo per argomenti complessi.

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Dimostrazione

La funzione e^(ix) all'interno del piano complesso è rappresentata da un cerchio unitario, mentre x è l'angolo che ha origine dal collegamento di un segmento che unisce l'origine a un punto del cerchio unitario con l'asse reale positivo calcolandolo in senso antiorario e attraverso i radianti. Una delle proprietà più sorprendenti della formula presa in esame permette di interpretare le funzioni seno e coseno come del semplici alternative delle funzioni esponenziali. Tenendo conto delle varie proprietà della formula di Eulero, ne deriva che le dimostrazioni sono molteplici e delle volte abbastanza complicate ma se si conosce la matematica, il tutto diventa logico. Attraverso l'uso di funzioni analitiche e dell'analisi, senza dimenticare la dimostrazione alternativa.

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Conclusioni

Utilizzando lo sviluppo in serie delle funzioni analitiche di seno e coseno ed esponenziali, le funzioni complesse ez, cos (z) e sen (z), vengono definite nell'insieme dei numeri complessi, in modo praticamente simile al limite delle seguenti serie di potenze.
Esiste anche una dimostrazione alternativa alla seguente ma utilizza dei metodi più complicati e poco capibili rispetto a questa spiegazione.

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