Fisica: la scomposizione di un vettore

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In matematica un vettore è un elemento che si trova all'interno di uno spazio vettoriale. I vettori sono quindi degli oggetti che possono essere sommati fra loro e moltiplicati per dei numeri, che sono detti scalari. I vettori sono comunemente usati in fisica per indicare delle grandezze che sono completamente definite solamente quando vengono specificati sia una magnitudine (o modulo) che una direzione ed un verso rispetto ad un altro vettore o un sistema di vettori. Le grandezze che possono essere descritte in questo modo sono chiamate grandezze vettoriali, in contrapposizione alle grandezze scalari, che invece sono caratterizzate unicamente dalla loro magnitudine. Il concetto matematico di vettore nasce dall'idea intuitiva di una grandezza fisica (come ad esempio spostamento, accelerazione e forza) caratterizzata da intensità, direzione e verso nello spazio tridimensionale. A seguito dell'introduzione delle coordinate cartesiane, una grandezza di questo tipo poteva essere rappresentata da una terna di numeri reali: le componenti relative a tre direzioni spaziali di riferimento. Nella successiva formalizzazione matematica si è giunti a definire il concetto generale di spazio vettoriale come un insieme in cui è definita l'operazione di combinazione lineare di due o più elementi. In questa semplice e veloce guida, a tale proposito, ci occuperemo di spiegarvi nella maniera più chiara e comprensibile possibile, come eseguire la scomposizione di un vettore. Ovviamente, prima di iniziare la spiegazione, vi ricordiamo che per comprendere pienamente i concetti seguenti è necessario avere delle buone basi di matematica e di fisica.

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Occorrente

  • Strumenti tecnici quali righello, gomma, matita.
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Fissare un riferimento

Per iniziare, sarà necessario fissare un riferimento cartesiano ortogonale ed un'unità di misura sia sull'asse delle ascisse sia sull'asse delle ordinate. Dopo che avete fissato il punto di applicazione del vettore nell'origine O, proiettandolo, dovrete andare a creare le componenti verticali e orizzontali. È bene tenere conto del fatto che proiettare un vettore significa essenzialmente costruire un rettangolo usando il suddetto vettore come se fosse la diagonale del rettangolo. Calcolate adesso l'angolo di inclinazione del vettore: per riuscire a eseguire questa operazione bisogna partire dal semiasse positivo delle x e procedere in senso antiorario.

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Calcolare le parti

Avendo dunque scomposto graficamente il vettore, sarà ora opportuno sapere qual è il modo corretto di procedere per andare a calcolare le singole parti scomposte. Innanzitutto diciamo che alfa è l'angolo di inclinazione del vettore "a" rispetto all'asse delle x; "ax" è la componente del vettore "a" lungo l'asse delle x ed è anche detta componente parallela; "ay" rappresenta la componente del vettore "a" lungo l'asse delle y e viene anche detta componente perpendicolare. Con questi dati a disposizione è ora possibile procedere con la fase successiva dei calcoli.

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Eseguire le operaioni

Per procedere, bisogna dunque tenere conto del fatto che i vettori a, ax e ay sono legati dalla regola del parallelogramma, pertanto si possono ritenere vere le seguenti relazioni che li legano tra loro: a=ax+ay; a=sqrtax^2+ay^2; alfa=arctg (ay/ax). Inoltre, conoscendo l'angolo di inclinazione alfa e la lunghezza del vettore "a", avrete la possibilità di trovare la componente parallela e la componente perpendicolare, semplicemente utilizzando coseno e seno, che sono delle proprietà dell'angolo alfa: ax=a*cosalfa; ay=a*sinalfa. In questo modo il lavoro è finalmente concluso. Come avrete capito, si tratta di un procedimento abbastanza semplice, soprattutto se si possiedono delle ottime basi di matematica. Ad ogni modo, il consiglio è sicuramente quello di eseguire una grande quantità di esercizi, così da riuscire ad acquisire la giusta dimestichezza con questa tipologia di problemi.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • E' necessaria la precisione.
  • Esercitatevi frequentemente
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