Fisica: il teorema di Varignon

La fisica è una materia che alcuni studenti considerano insidiosa. Le leggi e le formule che regolano questa disciplina appartengono a diversi livelli di difficoltà e vanno studiati gradualmente nel corso degli anni. Gli insegnanti hanno il compito di fornire gli strumenti giusti ai propri studenti per rendere questa materia un po' meno ostica. Le spiegazioni durante la lezione sono fondamentali, soprattutto se accompagnate da esempi pratici alla lavagna. Tra le varie nozioni di da apprendere a scuola riguardo alla fisica, troviamo i teoremi. Uno dei più famosi è quello di Varignon, un argomento di rilievo per quanto riguarda il ramo della statica. Qui di seguito verrà spiegato nel modo più chiaro possibile il teorema di Varignon. Inoltre andremo ad analizzarne l'enunciazione, la dimostrazione e l'applicazione. Questo teorema viene generalmente utilizzato nell'ambito della scienza delle costruzioni e nella geometria delle masse. Iniziamo subito con alcune informazioni sull'autore dell'enunciato e sul contesto storico nel quale si inserisce. Andremo poi avanti con la spiegazione del teorema e faremo un esempio pratico sulla sua applicazione.

• Libro di testo di fisica
• Carta
• Penna
• Conoscenze di base sulle leggi della statica

Iniziamo col dire che il celebre teorema di Varignon prende il nome dal suo autore, il professore francese Pierre Varignon, docente presso i Collèges Mazarin e Royal di Parigi. La pubblicazione del teorema risale all'anno 1682 e si trova all'interno di un saggio sulla meccanica che si intitola "Nouvelle mecanique". Varignon, era uno studioso di fisica e matematica alla corte di Re Luigi XIV, (il Re Sole). Nominato direttore dell'Accademia di Parigi, egli portò avanti numerosi studi sul movimento delle acque correnti e si specializzò nella ricerca statistica e nello studio della geometria delle masse. Il teorema di Varignon trova applicazione proprio in queste due discipline epistemologiche e si configura come elemento fondamentale per rilevare il baricentro mediante l'impiego di coordinate sul piano cartesiano.

Vediamo ora l'enunciazione del teorema di Varignon. Possiamo seguire due affermazioni. La prima è quella dell'enunciato di base: ?La somma algebrica dei momenti delle forze componenti un sistema rispetto ad un punto è uguale, in valore e segno, al momento della forza risultante del sistema rispetto allo stesso punto?. Andremo quindi a dimostrare la formula M1 + M2 = MR. Ne deduciamo che il momento statico di un insieme di forze in relazione ad un punto (o a un asse) equivale al momento statico dato dallo stesso sistema di forze rispetto allo stesso punto (o asse). Facciamo una piccola digressione spiegando cosa si intende per momento statico. Dati una forza F e un punto P, otterremo un momento statico dal prodotto tra l'intensità di F e la distanza d della sua retta d'azione da P, che è il centro del momento statico. Ne consegue che il verso di rotazione viene determinato dalla posizione di P rispetto alla retta d'azione di F. Avremo quindi una rotazione oraria oppure antioraria. Chiarito il significato del momento statico, torniamo al teorema di Varignon. Vediamo in che modo si trova legato ai vettori analizzando la seconda tipologia di enunciazione.

Il teorema di Varignon afferma anche che un sistema di vettori le cui rette d?azione concorrono in uno stesso punto equivale alla risultante del sistema applicata allo stesso punto. Un vettore applicato in un punto si può dunque scomporre in un sistema equivalente di n vettori. Questi ultimi vengono applicati allo stesso punto. I vettori interessati dal teorema si indicano generalmente con la lettera v. Essa rappresenta l'esponente numerico che si riferisce alla dimensione del vettore. Parimenti, verranno impiegate le lettere P e Q rispettivamente per i punti e il polo. Quando dobbiamo rappresentare il momento statico, dobbiamo semplicemente disegnare un triangolo che unisca tra loro le estremità del vettore con il punto P. Restando in ambito geometrico, potremo affermare che il momento statico è il risultato relativo alla doppia area del triangolo che ha per elementi l'intensità delle forze e la distanza tra la retta d'azione e il punto P. Volendo esplicitare il tutto con una formula, avremo A=Fxd/2 sulla base della formula relativa all'area del triangolo A=bxh/2. Definendo MS=Fxd, possiamo affermare che 2A=MS.

Tenendo conto del fatto che in un sistema di forze complanari il momento associato alla risultante rispetto ad un punto è la somma algebrica dei momenti delle singole forze rispetto al punto stesso, possiamo proseguire con l'esplicazione del teorema di Varignon. A questo punto potremo effettuare una scomposizione dei vettori contenuti nella formula. La scomposizione avviene sul piano e sullo spazio e in diverse direzioni. Il vettore posizione va indicato come QP e si suddivide nelle sue componenti cartesiane. Per calcolare il momento risultante, dovremo semplificare e sviluppare i prodotti vettoriali. Dovremo pertanto eseguire addizioni e moltiplicazioni al posto dei prodotti vettoriali, che risultano troppo complessi. Ed ecco che potremo applicare il teorema di Varignon con particolare disinvoltura.

• Integrare gli appunti presi in classe con tutorial ed esercizi presenti anche su Internet.
• Trascrivere le formule più importanti per svolgere gli esercizi con maggior disinvoltura.

• Spiegazione e dimostrazione del teorema di Varignon
• Dimostrazione pratica del teorema di Varignon
• Meccanica applicata: Forze e momenti
• Il teorema di Varignon

• Teorema di Buckingham: dimostrazione
• Teorema di Fubini: dimostrazione