Esercizi di statistica e probabilità

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La statistica è una scienza che si occupa del modo in cui si distribuisce un determinato aspetto in un campione di popolazione. Discorso diverso per il calcolo delle probabilità. Esso, infatti, si prefigge di quantificare la possibilità che un certo evento si verifichi. Entrambi hanno svariati campi di applicazione, dalle scienze sociali all'ingegneria, dalla medicina all'economia. In questa guida vedremo come risolvere alcuni esercizi di statistica e probabilità. Prestate bene attenzione, poiché di per sé la statistica e la probabilità richiedono alcune conoscenze di base. Procediamo.

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Occorrente

  • Conoscenze pregresse in statistica e probabilità
  • Un libro tematico sulla statistica e sulla probabilità
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Esercizio delle tre carte

Vediamo il primo esercizio. In un gioco a premi avete tre carte, denominate "a", "b" e "c". Due di esse nascondono un dado e la terza, quella vincente, un cerchio. L'obiettivo è calcolare la probabilità vincente del gioco. Supponete che il concorrente scelga la carta “a”. Il conduttore del gioco gli rivela che dietro la carta “b” si cela un dado. Inoltre, egli offre la possibilità di un cambio di scelta vantaggioso. Tenete a mente che nel calcolo delle probabilità:
1. La carta “a” potrebbe celare il dado.
2. La carta “a” potrebbe nascondere il cerchio.
Si definisce "probabilità a priori" (P) il rapporto tra casi favorevoli e casi totali. Quindi:
P = 1/2 = 50%. La carta 2, però, ha il doppio di probabilità di accadimento rispetto alla 1. Questo perché su 3 casi totali, sapete che 2 sono dadi e uno solo è cerchio. Quindi, il cambio di scelta è vincente, perché pari a 2/3. In questo caso, la probabilità e del 66.67%. Procediamo con il secondo esercizio.

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Esercizio del compleanno

Vediamo ora il secondo esercizio. Dato un gruppo di N persone, quante probabilità ci sono che almeno due tra loro compiano gli anni lo stesso giorno dell'anno? Applicando i calcoli delle probabilità, si scopre che con 30 persone la possibilità supera il 70%. Ma come si arriva a questi risultati?
Per arrivare sin qui dovete calcolare l’evento complementare, che indica la probabilità che la situazione non si verifichi.
Il totale di N è pari a 100%. Se N è pari a 50, la probabilità è pari a 314/365. La probabilità che si verifichino eventi tra loro indipendenti è pari al prodotto delle probabilità dei singoli eventi. Di conseguenza:
(364/365) * (363/365) * ... * [(365 - N +1) / 365].
Calcolate il valore complementare:
1 - (364/365) * (363/365) * ... * [(365 - N +1) / 365].
Ed ecco che, considerato N=30, otterrete una percentuale del 70%.

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Esercizio dei fondi di investimento

Vediamo infine il terzo e ultimo esercizio. In statistica, immaginate di avere due fondi di investimento. Conoscete determinati "range" di ritorno economico, corredati dalla loro frequenza relativa di accadimento.
Il fondo “a” ha le seguenti caratteristiche:
Rendimento /// Freq. Relativa /// Freq. Cumulata
[20,25) /// 0.034 /// 0.034]
[25,30) /// 0.220 /// 0.254]
[45,50) /// 0.085 /// 1].
Conoscete anche i dati del fondo “b”.
Rendimento /// Freq. Relativa /// Freq. Cumulata
[10,15) /// 0.007 /// 0.007]
[15,20) /// 0.022 /// 0.029]
[35,40) /// 0.104 /// 1].
Grazie alla statistica, potete calcolare il fondo più redditizio. Eseguite gli esercizi per conteggiare la frequenza cumulata. Potete metterla in relazione con il rendimento, introducendo la cosiddetta "funzione di ripartizione F (x)".
"F (x)" si definisce come il rapporto tra il numero di osservazioni minori o uguali a x e quelle totali. Se le osservazioni sono abbastanza numerose, tale rapporto coincide anche con la probabilità.
F (25), quindi, indica l'incidenza statistica. L’investimento avrà un ritorno inferiore alla soglia di 25. Osservate con attenzione. Qualunque soglia di rendimento si fissi, la probabilità di rendimento inferiore a quella soglia sarà sempre maggiore per “b”. Svolti gli esercizi avrete quindi compreso che “b” è l’investimento più favorevole. Per ulteriori informazioni consultate il link: http://www.unife.it/scienze/lm.matematica/insegnamenti/statistica-1/materiale-didattico/LEZIONI%20DI%20STATISTICA%20-%20Parte%20I.pdf

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Gli argomenti di statistica e probabilità sono particolarmente complessi, per cui vi consigliamo di esercitarvi con regolarità.
  • Durante lo svolgimento degli esercizi fate in modo di avere sempre a portata di mano un libro tematico sulla statistica e sulla probabilità.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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