Dimostrazione delle equazioni di Cauchy-Riemann

Tramite: O2O 20/10/2018
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Nel campo matematico, ed in particolare, nell'ambito dell'analisi complessa, le Equazioni di Cauchy-Riemann rappresentano elementi di fondamentale importanza. Le equazioni di Cauchy-Riemann costituiscono condizione sufficiente e necessaria affinché una funzione possa essere definita olomorfa. Una funzione si dice olomorfa quando definisce un sottoinsieme appartenente al piano dei numeri complessi, ?i cui valori sono differenziabili in senso complesso in ogni punto del loro dominio?. Queste equazioni, definite ?equazioni alle derivate parziali" si affacciano per la prima volta nella storia dell'analisi complessa nel 1500, utilizzate in alcuni lavori di D'Alembert. Più tardi, nel 1777, fu Eulero a concentrarsi su di esse, stabilendo una relazione tra di esse e le funzioni analitiche. Occorrerà attendere il 1818 perché Cauchy le riprenda e le utilizzi per definire una vera e propria teoria delle funzioni olomorfe, esposta nell'articolo Sur les intégrales définies. Tale teoria fu ripresa decenni più tardi dal matematico Riemann. Di qui il nome di equazione di Cauchy-Riemann, della quale si procederà a spiegare la dimostrazione.

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Occorrente

  • Calcolatrice
  • Fogli
  • Matita
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Funzione complessa

Innanzitutto, per comprendere la dimostrazione delle equazioni di Cauchy-Riemann, bisogna introdurre il concetto di "funzione complessa". La definizione è la seguente: dato un insieme "Z" appartenente a "C", si definisce complesso e coniugato di "Z", il numero a sua volta complesso "z=x-iy", ossia |z|^2 = z ?z. Ricordiamo che i complessi, sono una notazione particolare per quei numeri che contengono termini che contengono la componente immaginaria. Aggiungiamo che "immaginario" non significa "immaginato" ma "relativo all'immagine", cioè alla proiezione di una componente che si trova su un asse, quello immaginario, appunto, che non è visibile lungo la retta dei reali, perché entrante/uscente dal foglio. Ne risulta una funzione complessa di una variabile complessa definita f: A? C?? C.

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Notazione complessa

Fatta questa premessa, necessaria soprattutto per chi non è particolarmente pratico nel campo, si prenda una funzione complessa ?f?. Questa sarà definita su un insieme aperto ?A? del piano complesso ?C? ed espressa in formule con la rappresentazione (f: A?C). Poiché esistono due variabili reali (x; y) e due funzioni reali (u; v) possiamo scrivere che ? f (x + iy) = u +iv ?, dove? i ? rappresenta l'unità immaginaria, ovvero indica che stiamo lavorando con un numero complesso. Per comodità ed estensione riportiamo anche la notazione polare dei numeri complessi, che è particolarmente utile nel caso di impiego di funzioni dette oscillanti, cioè che contengono componenti che cambiano segno, in maniera periodica, semiperiodica o non periodica. In questa notazione il numero complesso c si riscrive come c=r*e^(i*t), dove r è un numero reale, e t un angolo. In forme di questo tipo si possono poi andare a riscrivere anche le funzioni trigonometriche.

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Funzioni Olomorfe

Da questa base, le equazioni di Cauchy-Riemann determinano che la funzione appena descritta (f) si può definire olomorfa nell'insieme ?A? solo nel caso in cui essa sia una funzione differenziale e rispetti alcune condizioni specifiche. La funzione f deve avere come derivate parziali continue equazioni di una forma particolare, che messe sotto forma di sistema si scrivono: (?u/?x) = (?v/?y) e (?u/?y) = ?(?v/?x)]. Ricordiamo che la reivabilità e la differenziabilità delle funzioni complesse è una condizione molto più stringente rispetto alla differenziabilità reale, perché implica l'infinita differenziabilità e che se ne possa determinarla attraverso il suo sviluppo in serie di Taylor.

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Derivata complessa

L'espressione appena descritta è definita proprio come condizione di Cauchy-Riemann. Essa è verificata in ogni punto (xo, yo) appartenente all'insieme. Inoltre, poiché è stato detto che la funzione ?f? è olomorfa, allora la derivata complessa è rappresentata in funzione delle derivate parziali di ? u ? e ? v ?. Più precisamente: ?f' = [?u/?x](x, y) + i [?v/?x](x, y)=[?v/?y](x, y) ? i [?u/?y](x, y).

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Commentate a lato i passaggi per poter ricostruire il ragionamento
  • Approfondite la serie di Taylor e le condizioni di derivabilità
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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