Equazioni di Cauchy-Riemann: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Nel campo matematico, ed in particolare, nell'ambito dell'analisi complessa, le Equazioni di Cauchy-Riemann rappresentano elementi di fondamentale importanza. Le equazioni di Cauchy-Riemann costituiscono condizione sufficiente e necessaria affinché una funzione possa essere definita olomorfa. Una funzione si dice olomorfa quando definisce un sottoinsieme appartenente al piano dei numeri complessi, “i cui valori sono differenziabili in senso complesso in ogni punto del loro dominio”. Queste equazioni, definite “equazioni alle derivate parziali" si affacciano per la prima volta nella storia dell'analisi complessa nel 1500, utilizzate in alcuni lavori di D'Alembert. Più tardi, nel 1777, fu Eulero a concentrarsi su di esse, stabilendo una relazione tra di esse e le funzioni analitiche. Occorrerà attendere il 1818 perché Cauchy le riprenda e le utilizzi per definire una vera e propria teoria delle funzioni olomorfe, esposta nell'articolo Sur les intégrales définies. Tale teoria fu ripresa decenni più tardi dal matematico Riemann. Di qui il nome di equazione di Cauchy-Riemann, della quale si procederà a spiegare la dimostrazione.

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Occorrente

  • Calcolatrice
  • Foglio per appuntare
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Concetto di funzione complessa

Innanzitutto, per comprendere la dimostrazione delle equazioni di Cauchy-Riemann, bisogna introdurre il concetto di "funzione complessa". La definizione è la seguente: dato un insieme "Z" appartenente a "C", si definisce complesso e coniugato di "Z", il numero a sua volta complesso "z=x-iy", ossia |z|2 = z ̄z (da leggere "zeta segnato"). Ne risulta una funzione complessa di una variabile complessa definita f: A⊂ C−→ C.

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Procedimento

Fatta questa premessa, necessaria soprattutto per chi non è particolarmente pratico nel campo, si prenda una funzione complessa “f”. Questa sarà definita su un insieme aperto “A” del piano complesso “C” ed espressa in formule con la rappresentazione (f: A→C). Poiché esistono due variabili reali (x; y) e due funzioni reali (u; v) possiamo scrivere che “ f (x + iy) = u +iv ”, dove“ i ” rappresenta l'unità immaginaria, ovvero un numero complesso.

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Funzione olomorfa

Da questa base, le equazioni di Cauchy-Riemann determinano che la funzione appena descritta (f) si può definire olomorfa nell'insieme “A” solo nel caso in cui essa sia una funzione differenziale. Inoltre la funzione f deve avere come derivate parziali continue le equazioni seguenti, messe sotto forma di sistema di espressione: (derivata di u/ derivata di x) = (derivata di v / derivata di y)(derivata di u / derivata di y) = [– (derivata di v/derivata di x)].

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Condizione di Cauchy-Riemann

L'espressione appena descritta è definita proprio come condizione di Cauchy-Riemann. Essa è verificata in ogni punto (xo, yo) appartenente all'insieme. Inoltre, poiché è stato detto che la funzione “f” è olomorfa, allora la derivata complessa è rappresentata in funzione delle derivate parziali di “ u ” e “ v ”. Più precisamente: “f' = [derivata di u/derivata di x](x, y) + i [derivata di v/derivata di x](x, y)=[derivata di v/derivata di y](x, y) – i [derivata di u/derivata di y](x, y).

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Fate i calcoli con attenzione, meglio se in silenzio
  • Aiutatevi con la calcolatrice e appuntando i risultati

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