Endomorfismo di Frobenius: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
15

Introduzione

La guida che svilupperemo attraverso i tre passi che completeranno questa guida, ora andremo a occuparci di scienza. Nello specifico, come indicato già nel titolo della nostra guida, ora andremo a spiegarvi Endomorfismo di Frobenius, attraverso una dimostrazione. Cominciamo ad analizzare questo specifico argomento, che potrebbe interessarvi.
Gli endomosfirmi, così come gli isomorfismi, sono applicazioni dello spazio vettoriale su se stesso. Nella teoria dell'algebra commutativa e di campo, l'endomorfismo di Frobenius, è uno speciale endomorfismo di anelli commutativi con un caratteristica p, dove p è un numero primo. L'endomorfismo associa ogni elemento al suo potere di PTH. In alcuni casi è un automorfismo, ma ciò non è vero in generale.

25

L'endomorfismo di Frobenius

Possiamo partire subito dando una definizione specifica a questa tematica.
Sia R un anello di tipo commutativo avente una caratteristica denominata p come numero primo, che sia un dominio integrale positivo. L'endomorfismo di Frobenius viene definito attraverso questa formula: F (r) è uguale a r^p, per tutti gli r presenti all'interno di R. Tutto questo va in accordo con il prodotto in R: F (rs) = (rs)^p = r^p s^p = F (r) F (s), e F (1) lo è anch'esso.
L'aspetto che è di fondamentale importanza, comunque, è che questa vada a rispettare anche l'appartenenza all'interno di R. L'espressione (r + s)^p può essere esplicitata usando il teorema binomiale. Poiché p è un numero primo, divide per p! Ma non per ogni q! Per q per 1 ≤ k ≤ p - 1. Pertanto i coefficienti di tutti i termini, tranne r^p ed s^p, sono divisibili per la caratteristica p, e quindi si annullano.
F (r + s) = (r + s)^p = r^p + s^p = F (r) + F (s).
Questo dimostra che F è un omorfismo ad anello.

35

I punti fissi

Ora spostiamoci nella valutazione di un altro argomento molto interessante, ovvero i punti fissi. Dobbiamo partire considerando il campo finito che definiremo in maniera abbreviata come Fb. Per quanto riguarda il teorema di Fermat, qualsiasi elemento denominato x di Fp, va a soddisfare la seguente formula: x^p = x. Equivalentemente, è una radice del polinomio Xp - X. Gli elementi di Fp quindi determinano p radici dell'equazione, e poiché questa equazione ha grado p, ha più di p radici oltre qualsiasi estensione algebrica. In particolare, se K è un'estensione algebrica di Fp, allora Fp è il campo fisso del automorfismo K di Frobenius.
Sia R un anello di caratteristica p> 0. Se R è un dominio, dallo stesso ragionamento, i punti fissi di Frobenius sono gli elementi del campo principale. Tuttavia, se R non è un dominio, allora Xp - X può avere più di p radici, ad esempio questo accade se R = Fp × Fp.

Continua la lettura
45

La definizione di endomorfismo di Frobenius

Fatte tutte queste valutazioni all'interno dei primi due passi, possiamo quindi affermare che l'endomorfismo di Frobenius come una trasformazione dell'identità funzionale sulla categoria degli anelli caratteristici di p.
Se l'anello R è un anello senza elementi nilpotenti, allora l'emdomorfismo è iniettivo: F (r) = 0 significa r^p = 0, che per definizione significa che r è nilpotente di ordine al massimo pari a p.
Il morfismo di Frobenius non è necessariamente suriettivo, anche quando R è un campo. Per esempio Sia k = Fp (t) il campo finito di elementi p con un unico elemento trascendentale; equivalentemente, K è il campo delle funzioni razionali a coefficienti in Fp. Inoltre l'immagine di F non contiene t. Se così fosse, allora ci sarebbe una funzione razionale q (t) / r (t) la cui potenza
q (t)^p / r (t)^p sarebbe uguale a t.
In chiusura, vorrei vivamente consigliarvi la lettura di ulteriori articoli che vadano ad approfondire questa tematica piuttosto complessa, in modo che possiate chiarire gli eventuali dubbi ancora presenti dopo la lettura di questa guida. Eccovi, a tal proposito, questo link interessante: https://it.wikipedia.org/wiki/Endomorfismo_di_Frobenius.

55

Consigli

Alcuni link che potrebbero esserti utili:

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Università e Master

Teorema di Hamilton-Cayley: dimostrazione

Il Teorema di Hamilton-Cayley si esprime nella seguente modalità: se "T: V --> V" rappresenta un endomorfismo di uno spazio vettoriale su "R", il polinomio caratteristico "p (T)" è nullo. Ciò significa che, qualora si consideri una matrice quadrata...
Università e Master

Teorema di Lagrange: dimostrazione

Quante volte abbiamo provato la dimostrazione di un teorema ognuno con il proprio modo di dare risultati diversi. Il Teorema di Lagrange nella sua dimostrazione non è così intuitivo per chi non dimostra conoscenze matematiche e geometriche. C'è chi...
Università e Master

Teorema dell'elemento primitivo: dimostrazione

La dimostrazione di un teorema, in qualsiasi campo matematico, desta da sempre molte difficoltà. Spesso i passaggi vengono spiegati molto velocemente e questo è causa di incomprensione da parte di chi si avvicina alla loro risoluzione. È pur vero,...
Università e Master

Teorema di Feuerbach: dimostrazione

Nel Teorema di Feuerbach il cerchio a 9 punti caratteristici è tangente internamente a quello inscritto in un triangolo ed esternamente ai suoi cerchi escritti. La dimostrazione prevede alcuni concetti geometrici. Il cerchio inscritto in un triangolo...
Università e Master

Teorema di Bolzano: dimostrazione

Il "Teorema di Bolzano" (o "teorema degli zeri per le funzioni continue") prende il nome dal matematico e filosofo boemo Bernard Bolzano, vissuto tra il XVIII ed il XIV secolo. Tale teorema (da non confondere con il "teorema di Bolzano-Weierstrass" sulle...
Università e Master

Teorema di Binet: dimostrazione

Come ben saprete, ogni materia rappresenta sempre una componente di ricerca e approfondimento da parte degli studiosi. La costante ricerca occorre per giungere con totale soddisfazione a svolgere l'attività lavorativa con dedizione e professionalità....
Università e Master

Teorema di Löwenheim-Skolem: dimostrazione

In questo articolo vorrei illustrarvi la dimostrazione del Teorema di Löwenheim-Skolem. Il Teorema di Löwenheim-Skolem si chiama così perché prende il suo nome dai suoi matematici ideatori Leopold Löwenheim e Thoralf Skolem. Il Teorema di Löwenheim-Skolem...
Università e Master

Teorema dei valori intermedi: dimostrazione

Il teorema dei valori intermedi è uno dei più importanti in matematica: esso serve infatti per arrivare, attraverso dei ragionamenti successivi, a definire il famoso e importante teorema di Weierstrass. Con i passaggi che seguono andremo a vedere nello...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.