Endomorfismo di Frobenius: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La guida che svilupperemo attraverso i tre passi che completeranno questa guida, ora andremo a occuparci di scienza. Nello specifico, come indicato già nel titolo della nostra guida, ora andremo a spiegarvi Endomorfismo di Frobenius, attraverso una dimostrazione. Cominciamo ad analizzare questo specifico argomento, che potrebbe interessarvi.
Gli endomosfirmi, così come gli isomorfismi, sono applicazioni dello spazio vettoriale su se stesso. Nella teoria dell'algebra commutativa e di campo, l'endomorfismo di Frobenius, è uno speciale endomorfismo di anelli commutativi con un caratteristica p, dove p è un numero primo. L'endomorfismo associa ogni elemento al suo potere di PTH. In alcuni casi è un automorfismo, ma ciò non è vero in generale.

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L'endomorfismo di Frobenius

Possiamo partire subito dando una definizione specifica a questa tematica.
Sia R un anello di tipo commutativo avente una caratteristica denominata p come numero primo, che sia un dominio integrale positivo. L'endomorfismo di Frobenius viene definito attraverso questa formula: F (r) è uguale a r^p, per tutti gli r presenti all'interno di R. Tutto questo va in accordo con il prodotto in R: F (rs) = (rs)^p = r^p s^p = F (r) F (s), e F (1) lo è anch'esso.
L'aspetto che è di fondamentale importanza, comunque, è che questa vada a rispettare anche l'appartenenza all'interno di R. L'espressione (r + s)^p può essere esplicitata usando il teorema binomiale. Poiché p è un numero primo, divide per p! Ma non per ogni q! Per q per 1 ≤ k ≤ p - 1. Pertanto i coefficienti di tutti i termini, tranne r^p ed s^p, sono divisibili per la caratteristica p, e quindi si annullano.
F (r + s) = (r + s)^p = r^p + s^p = F (r) + F (s).
Questo dimostra che F è un omorfismo ad anello.

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I punti fissi

Ora spostiamoci nella valutazione di un altro argomento molto interessante, ovvero i punti fissi. Dobbiamo partire considerando il campo finito che definiremo in maniera abbreviata come Fb. Per quanto riguarda il teorema di Fermat, qualsiasi elemento denominato x di Fp, va a soddisfare la seguente formula: x^p = x. Equivalentemente, è una radice del polinomio Xp - X. Gli elementi di Fp quindi determinano p radici dell'equazione, e poiché questa equazione ha grado p, ha più di p radici oltre qualsiasi estensione algebrica. In particolare, se K è un'estensione algebrica di Fp, allora Fp è il campo fisso del automorfismo K di Frobenius.
Sia R un anello di caratteristica p> 0. Se R è un dominio, dallo stesso ragionamento, i punti fissi di Frobenius sono gli elementi del campo principale. Tuttavia, se R non è un dominio, allora Xp - X può avere più di p radici, ad esempio questo accade se R = Fp × Fp.

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La definizione di endomorfismo di Frobenius

Fatte tutte queste valutazioni all'interno dei primi due passi, possiamo quindi affermare che l'endomorfismo di Frobenius come una trasformazione dell'identità funzionale sulla categoria degli anelli caratteristici di p.
Se l'anello R è un anello senza elementi nilpotenti, allora l'emdomorfismo è iniettivo: F (r) = 0 significa r^p = 0, che per definizione significa che r è nilpotente di ordine al massimo pari a p.
Il morfismo di Frobenius non è necessariamente suriettivo, anche quando R è un campo. Per esempio Sia k = Fp (t) il campo finito di elementi p con un unico elemento trascendentale; equivalentemente, K è il campo delle funzioni razionali a coefficienti in Fp. Inoltre l'immagine di F non contiene t. Se così fosse, allora ci sarebbe una funzione razionale q (t) / r (t) la cui potenza
q (t)^p / r (t)^p sarebbe uguale a t.
In chiusura, vorrei vivamente consigliarvi la lettura di ulteriori articoli che vadano ad approfondire questa tematica piuttosto complessa, in modo che possiate chiarire gli eventuali dubbi ancora presenti dopo la lettura di questa guida. Eccovi, a tal proposito, questo link interessante: https://it.wikipedia.org/wiki/Endomorfismo_di_Frobenius.

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