Elementi di algebra vettoriale

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica è una materia piuttosto interessante ma allo stesso tempo molto complessa. Tra le diverse materie che la matematica tratta, l'algebra è una di queste. Nella seguente guida pertanto verranno spiegati, in pochi e semplici passaggi, alcuni fondamentali elementi riguardanti l'algebra vettoriale.

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Definire un vettore

Tutti i vettori vengono rappresentati, all'interno dello spazio euclideo, da segmenti la cui lunghezza rappresenta il modulo del vettore; ogni segmento possiede una freccia che ne indica la direzione e quest'ultima viene quantificata dall'angolo che il vettore forma rispetto ai tre assi x, y, e z del sistema cartesiano all'interno del quale è inserito. Quando un vettore non è applicato ad un punto ben preciso, si definisce vettore libero; può essere quindi rappresentato da ognuno degli ∞³ segmenti equipollenti presenti nello spazio. Questo vettore può essere spostato in qualsiasi punto della sua retta d'azione, oppure può essere trasportato su una retta parallela qualsiasi. Diversamente, un vettore applicato ad un punto P si definisce in modo univoco e viene sempre indicato precisandone il punto d'applicazione scrivendo A, P.

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Rappresentare un vettore

Graficamente parlando, un vettore viene rappresentato da una lettera maiuscola e in grassetto, A, oppure dalla stessa sormontata da una freccia. In altri casi, volendo alludere ad un vettore spostamento di un punto da una posizione P₁ ad una P₂, rappresentato dalla formula s=P₂-P₁, è possibile scrivere anche A=P-Q, avendo nominato gli estremi del vettore in questione con P e Q. Il modulo di un vettore A viene invece rappresentato con A, oppure con |A|. Viene definito versore invece un vettore che abbia modulo unitario; è indicato con una lettera minuscola in grassetto, sovrastata da un accento circonflesso, û. Il versore non fa altro che stabilire la direzione di un vettore nello spazio, per cui un vettore A può essere rappresentato dal prodotto fra il suo modulo e il suo versore con Aû. I versori di una terna cartesiana x, y, z vengono rappresentati dalle lettere i, j, k.

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Calcolare la direzione di un vettore

Vediamo adesso in che modo è possibile calcolare la direzione di un vettore. Considerato un vettore A posto su un piano e fissata su tale piano una retta orientata di riferimento, la direzione del vettore è univocamente rappresentata dall'angolo θ formato dalla retta e dal vettore; considerato un vettore B di direzione opposta, essa sarà rappresentata dalla somma π+θ. Nel caso di un vettore libero, è possibile farlo spiccare dall'origine di una terna di assi cartesiani x, y, z; l'angolo θ formato con l'asse z, detto polare, e l'angolo ϕ formato con l'asse delle x, detto azimutale, non costituiscono altro che la direzione del vettore libero. Alla stessa maniera, gli angoli individuati dai vettori opposti saranno rispettivamente θ+π e ϕ+π. La direzione, infine, può anche essere rappresentata dai coseni direttori: cos α, cos β e cos γ, ove α, β e γ sono gli angoli che il vettore A forma in relazione ai tre assi x, y, z.

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