Elementi di algebra lineare

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

L'algebra lineare è una branca della matematica che studia principalmente gli spazi vettoriali, i vettori, le trasformazioni lineari e i sistemi lineari. Vedremo, in questa guida, quindi, gli elementi base di ognuno di questi argomenti dell'algebra lineare più in dettaglio, per capirli nel modo migliore possibile.

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Occorrente

  • Basi di matematica e geometria analitica
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Le basi

Prima di tutto bisogna conoscere le nozioni base dell'algebra lineare per capire al meglio come utilizzarli.
Come abbiamo detto una delle nozioni principali è quella di spazio vettoriale: uno spazio vettoriale è un insieme di vettori con i quali possono essere usate delle operazioni binarie di somma e prodotto. Qualsiasi numero che verrà moltiplicato per un vettore verrà chiamato scalare, e potrà essere il campo dei numeri reali o quello dei numeri complessi e così via.

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Applicazione lineare

Un'altra nozione importante è quella di applicazione lineare, la quale è una funzione fra due spazi vettoriali e che sia compatibile con le operazione di somma e prodotto su entrambi.
Si chiama inoltre nucleo di un applicazione lineare l'insieme di vettori del dominio avente immagine nulla. Si chiama invece immagine di un sottoinsieme di un applicazione lineare, l'insieme di vettori ottenuti applicando la funzione a tale sottoinsieme.

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Prodotto scalare

Altre nozioni base sono quelle di base e dimensione e prodotto scalare. La prima definisce base come una successione di vettori linearmente indipendenti che generano uno spazio vettoriale V. Quest'ultimo può avere dimensione infinita ed è caratterizzata dal numero di elementi, vettori, presenti nella sua base. Una delle più importanti relazioni nell'algebra lineare per quanto riguarda le dimensioni di spazi vettoriali è la relazione di Grassman: la dimensione di un sottospazio V + dimensione di un sottospazio W è uguale alla dimensione di V+W più la dimensione della loro intersezione.
La seconda nozione ossia quella di prodotto scalare definisce un prodotto fra due vettori e non come abbiamo visto nel passo 1 di uno scalare per un vettore. Se il risultato del prodotto fra i due vettori sarà a sua volta un vettore allora parleremo di prodotto vettoriale, se invece avremo come risultato uno scalare allora il prodotto si chiamerà prodotto scalare.

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Rouchè-Capelli

Il teorema di Rouchè-Capelli invece utilizza la definizione di Rango di una matrice. Per cominciare una matrice è una tabella di numeri e in algebra lineare può essere usata per rappresentare le applicazioni lineari e i sistemi lineari.
Come dicevamo il teorema di Rouchè-Capelli afferma che un sistema lineare ha delle soluzioni se e solo se la matrice completa e la matrice incompleta hanno lo stesso rango. Il rango di una matrice non è altro che il massimo numero di colonne o righe della matrice che sono linearmente indipendenti.

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Le matrici

VI è infine una relazione anche tra le matrici e le applicazioni lineari. Prima di tutto per quanto riguarda le applicazioni lineare queste sono caratterizzate da vettori, chiamati autovettori, i quali hanno la particolarità di non cambiare direzione. Nel caso in cui un'applicazione sia particolarmente semplice vuol dire che la sua matrice associata è una matrice diagonalizzabile, sulla cui diagonale vi sono gli autovalori dell'endomorfismo, ossia che esiste una base formata da autovettori. Gli autovalori di un applicazione lineare possono essere calcolati, trovando le radici del polinomio caratteristico della matrice associata.
L'algebra lineare, per concludere, studia tutti i fenomeni anche quelli complessi che possono però essere studiati utilizzando un metodo, appunto, lineare.

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