Domini e condizioni di esistenza

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Introduzione

Spesso nell'analisi matematica ci si ritrova a dover determinare i domini delle funzioni, anche detti condizioni d'esistenza. Ma che cos'è il dominio di una funzione? Il dominio di una funzione è l'insieme su cui è definita la funzione, ovvero l'insieme di partenza sui cui elementi ha senso valutare la funzione. Vediamo come fare.

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Funzioni fratte

Sono funzioni che presentano numeratore e denominatore. Ogni qualvolta abbiamo una funzione di questo la condizione d'esistenza è porre il denominatore diverso da zero (assumendo che il numeratore abbia dominio in tutto R). Per cui, se dovessimo avere come denominatore, un polinomio di secondo grado, dovremmo andar a sottrarre, dal campo R, i valori che risultano essere le radici di quel polinomio, ovvero i valori, che sostituiti alla variabile nel denominatore, renderebbero quest'ultimo zero. Nel caso in cui anche il numeratore, per ragioni che vedremo fra poco, dovesse avere un dominio diverso da tutto R, ciò che bisogna fare è l'intersezione tra il dominio del denominatore e quello del numeratore, in modo da trovare un'unica soluzione che soddisfi al contempo entrambi.

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Funzione logaritmica

Un particolare caso di numeratore con dominio diverso da tutto R potrebbe essere una funzione logaritmica. Il logaritmo naturale, così come qualsiasi logaritmo di base "a", deve avere necessariamente l'argomento reale e maggiore di zero. Questo non ha una motivazione matematica profonda, è semplicemente perché il logaritmo è definito per funzioni positive. Notate bene che per definizione anche la base a deve essere maggiore di zero.

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Funzioni sotto radice

Se consideriamo una funzione sotto una radice con indice pari, la condizione necessaria è quella di porre tutto ciò che c'è sotto la radice maggiore o uguale a zero. Questo perché non è possibile fare la radice quadrata, e in generale la radice di qualsiasi indice pari, di una funzione negativa. Se invece l'indice è un numero dispari il dominio della funzione è tutto R (sempre in accordo con la funzione stessa). Se quindi abbiamo una radice quadrata di una funzione fratta al cui denominatore è presente un polinomio di secondo grado, dovremo andar a porre l'intera frazione maggiore o uguale a zero e al contempo dovremo porre il denominatore diverso da zero.

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Funzioni arcoseno e arcocoseno

Il dominio di queste funzioni deve essere sempre compreso tra -1 ed 1, estremi inclusi. Ovvero l'argomento di queste funzioni non può essere maggiore di 1 né minore di -1. Questo è dovuto al fatto che il seno e il coseno restituiscono valori compresi tra -1 e 1, ed essendo l'arcoseno e l'arcocoseno le funzioni inverse, rispettivamente di seno e coseno, non è possibile che i loro argomenti siano al di fuori di questo intervallo.

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Funzioni tangente, cotangente, secante e cosecante

Particolare attenzione va posta sulle funzioni tangente, cotangente, secante e cosecante, in quanto sono per definizione delle funzioni fratte. Infatti la tangente è il rapporto tra seno e coseno, e quindi il suo dominio lo si troverà andando ad imporre il coseno al denominatore diverso da zero, il che ci porterà a concludere che l'argomento di tale coseno sia diverso da pi greco mezzi + k pi greco, con k numero intero (per tener conto della periodicità di tale funzione). Allo stesso modo la cotangente, che è il rapporto tra coseno e seno, richiede di porre il seno diverso da zero, quindi l'argomento del seno diverso da k pi greco, con k sempre numero intero. Vale lo stesso per la secante e per la cosecante che sono rispettivamente definite come 1 su coseno e 1 su seno.

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