Disuguaglianza di Cramér-Rao

Tramite: O2O 31/05/2017
Difficoltà: difficile
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Introduzione

L'argomento che tratteremo in questa guida riguarda il complicatissimo mondo della matematica e della statistica: si tratta della Disuguaglianza di Cramér-Rao, meglio conosciuta come "il teorema di Cramér - Rao". Questo nome si riferisce ai fondatori Harald Cramér (matematico e statistico svedese) e Calyampudi Radhakrishna Rao (matematico e statistico indiano) che lo hanno elaborato. Qui di seguito pertanto verranno illustrate le condizioni alle quali uno stimatore deve riferirsi perché il teorema di Cramér - Rao possa essere dimostrato.

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Cos'è lo stimatore

Lo stimatore è una statistica Tn le cui determinazioni servono a fornire delle stime. Per stabilire se uno stimatore è positivo esistono diverse condizioni, che passeremo ad analizzare qui di seguito. Affinché uno stimatore si possa definire buono, è necessario che questo sia uno stimatore corretto, ovvero non distorto, e che quindi abbia un parametro medio uguale alla quantità che si deve stimare. Una volta accertato che esista questa condizione, si avrà l' MMSE (minimum mean square error), ossia il minimo errore quadratico medio ottenuto dalla varianza dello stimatore aggiungendo il quadrato della sua stessa distorsione, la quale coincide con la varianza. Si tratta di una funzione indicata con ?2(x) e serve ad identificare una misura dei vari valori che la variabile può assumere e di quanto questi valori si differenzino dalla media (valore atteso).

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Cos'è l'efficienza

L'efficienza è un'altra delle condizioni utili a soddisfare uno stimatore. Se infatti rileviamo contemporaneamente diversi stimatori corretti, sarà opportuno andare a considerare lo stimatore più efficiente, ossia quello che dimostrerà di avere una varianza minore rispetto agli altri. Tutto ciò serve sempre ai fini della valutazione del valore dell'MMSE (minimum mean square error) ovvero minimo errore quadratico medio; il quale, come già descritto, coincide appunto con la varianza. Pertanto, considerando lo stimatore sul quale abbiamo riscontrato una varianza minore, cercheremo di ridurre al minimo l'MMSE per ottenere uno stimatore corretto, minimizzando conseguentemente anche la varianza.

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Cos'è il teorema di Cramer-Raosi

Il teorema di Cramér-Raosi si rivela utile soprattutto perché con esso si identifica il limite inferiore relativo alla varianza di pertinenza del gruppo di stimatori corretti che sono stati identificati. Esso è un limite teorico al di sotto del quale l'errore quadratico medio di qualunque stimatore non può andare. È bene infatti precisare che, considerato lo stimatore che ha la varianza più vicina al valore del limite inferiore, si otterrà uno stimatore con varianza minima che risulterà essere proprio lo stimatore più efficiente.

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