Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
14

Introduzione

Tra le tante materie scolastiche che si studiano appunto a scuola, c'è la matematica. Essa è risultata dai tanti sondaggi fatti con i mass-media, tra le discipline più odiate dai giovani. Ma essa si sa che è molto importante studiarla per tanti e tanti motivi. Ma in questa guida ci occuperemo di spiegare e far capire come funziona la Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz accompagnando passo passo durante la sua risoluzione e come capirla al meglio.

24

Il prodotto interno è noto anche come prodotto scalare

La disuguaglianza appunto di Cauchy-Schwarz afferma che per tutti i vettori x e y di uno spazio prodotto interno è vero che dove Il prodotto interno è noto anche come prodotto scalare. Equivalentemente, prendendo la radice quadrata da entrambi i lati, e facendo riferimento alle regole dei vettori, le due parti sono uguali se e solo se x e y sono linearmente dipendenti. Se e hanno una componente immaginaria, il prodotto interno è il prodotto interno di una serie e la notazione viene utilizzata per la coniugazione complessa allora la disuguaglianza può essere più esplicitamente, come se vista in questo modo x1, ..., xn, and y1, ..., yn fossero le componenti di x e y rispetto a una base ortonormale di V. In modo più sintetico: l'uguaglianza vale se e solo se x e y sono dipendenti, cioè, uno è un multiplo scalare dell'altro. Il caso finito-dimensionale di questa disuguaglianza per i vettori reali è stato dimostrato da Cauchy nel 1821 e nel 1859 da un suo studente, Bunyakovsky, che aveva notato che facendo il limite si può ottenere una forma integrante della disuguaglianza di Cauchy.

34

In spazio euclideo Rn

In spazio euclideo Rn con il prodotto interno standard, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è. Per dimostrare questa forma di disuguaglianza, si consideri il seguente polinomio in z.
Poiché è non negativo esso ha al massimo una radice reale in z, donde il suo discriminante è inferiore o uguale a zero, cioè che produce la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Svolgendo le parentesi abbiamo: il lato sinistro dell'equazione è una somma dei quadrati dei numeri reali è maggiore o uguale a zero.

Continua la lettura
44

La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si deduce anche dalla identità di Lagrange

Un altro approccio quando n ≥ 2 (n = 1 è banale) è considerare il piano contenente x e y. Più precisamente, un spazio R a n con qualsiasi base ortonormale cui i primi due vettori si estendono su un sottospazio che contiene x e y. In base a questo solo e sono diversi da zero e la disuguaglianza si riduce al prodotto algebrico scalare nel piano, che è legato all'angolo tra due vettori, da cui si ottiene la disuguaglianza. Quando n = 3, La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si deduce anche dalla identità di Lagrange, che assume la forma da cui segue immediatamente la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Università e Master

Teorema di Caccioppoli: dimostrazione

Il Teorema di Caccioppoli è uno dei teoremi più importanti nell'ambito dei cosiddetti studi metrici. È noto anche come Teorema delle contrazioni o Teorema del punto fisso, anche se è ancora più giusto chiamarlo Teorema di Barnach-Caccioppoli, dai...
Università e Master

Come risolvere un problema di Cauchy

Il problema di Cauchy consiste nel risolvere un'equazione differenziale parziale su un dominio, in cui sono specificate le condizioni su una parte del perimetro; bisogna dunque risolvere un problema di completamento dei dati e ripristinare le condizioni...
Università e Master

Equazioni di Cauchy-Riemann: dimostrazione

Nel campo matematico, ed in particolare, nell'ambito dell'analisi complessa, le Equazioni di Cauchy-Riemann rappresentano elementi di fondamentale importanza. Le equazioni di Cauchy-Riemann costituiscono condizione sufficiente e necessaria affinché una...
Superiori

Come risolvere le disuguaglianze con valore assoluto

Le disuguaglianze sono espressioni che stabiliscono una relazione di ordine sull'insieme dei numeri reali oppure su un suo sottoinsieme. La disuguaglianza è intesa in senso stretto se contiene il simbolo > (maggiore di) o < (minore di) e non contiene...
Elementari e Medie

Come fare le disequazioni

La matematica è una materia sempre molto odiata da tutti gli studenti. Tuttavia è una materia necessaria e fondamentale, sia se vogliate intraprendere un percorso di studi scientifico, sia per qualunque altro percorso scegliate in futuro. C'è bisogno...
Superiori

Come applicare il Teorema di Cauchy ad una funzione

Se stiamo per affrontare l'esame di maturità, bisognerà conoscere gli argomenti più importanti che sicuramente saranno trattati. Una delle materie che ci preoccuperà di più sarà la matematica, soprattutto se frequentiamo il liceo scientifico. Generalmente...
Università e Master

Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy: dimostrazione

La matematica è da sempre la materia più complicata sia ai bambini delle elementari, sia per gli studenti delle superiori e delle facoltà universitarie. Questa difficoltà sta soprattutto nel fatto che i concetti sono strettamente collegati fra di...
Università e Master

Appunti di economia aziendale: la curva di Lorenz

La curva di Lorenz è una rappresentazione grafica della funzione di distribuzione cumulativa della ricchezza; la curva di Lorenz viene utilizzata in economia. Questa curva è stata sviluppata da Max O. Lorenz nel 1905. Nel grafico viene mostrato la percentuale...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.