Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Tra le tante materie scolastiche che si studiano appunto a scuola, c'è la matematica. Essa è risultata dai tanti sondaggi fatti con i mass-media, tra le discipline più odiate dai giovani. Ma essa si sa che è molto importante studiarla per tanti e tanti motivi. Ma in questa guida ci occuperemo di spiegare e far capire come funziona la Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz accompagnando passo passo durante la sua risoluzione e come capirla al meglio.

La disuguaglianza appunto di Cauchy-Schwarz afferma che per tutti i vettori x e y di uno spazio prodotto interno è vero che dove Il prodotto interno è noto anche come prodotto scalare. Equivalentemente, prendendo la radice quadrata da entrambi i lati, e facendo riferimento alle regole dei vettori, le due parti sono uguali se e solo se x e y sono linearmente dipendenti. Se e hanno una componente immaginaria, il prodotto interno è il prodotto interno di una serie e la notazione viene utilizzata per la coniugazione complessa allora la disuguaglianza può essere più esplicitamente, come se vista in questo modo x1, ..., xn, and y1, ..., yn fossero le componenti di x e y rispetto a una base ortonormale di V. In modo più sintetico: l'uguaglianza vale se e solo se x e y sono dipendenti, cioè, uno è un multiplo scalare dell'altro. Il caso finito-dimensionale di questa disuguaglianza per i vettori reali è stato dimostrato da Cauchy nel 1821 e nel 1859 da un suo studente, Bunyakovsky, che aveva notato che facendo il limite si può ottenere una forma integrante della disuguaglianza di Cauchy.

In spazio euclideo Rn con il prodotto interno standard, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è. Per dimostrare questa forma di disuguaglianza, si consideri il seguente polinomio in z.
Poiché è non negativo esso ha al massimo una radice reale in z, donde il suo discriminante è inferiore o uguale a zero, cioè che produce la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Svolgendo le parentesi abbiamo: il lato sinistro dell'equazione è una somma dei quadrati dei numeri reali è maggiore o uguale a zero.

Un altro approccio quando n ? 2 (n = 1 è banale) è considerare il piano contenente x e y. Più precisamente, un spazio R a n con qualsiasi base ortonormale cui i primi due vettori si estendono su un sottospazio che contiene x e y. In base a questo solo e sono diversi da zero e la disuguaglianza si riduce al prodotto algebrico scalare nel piano, che è legato all'angolo tra due vettori, da cui si ottiene la disuguaglianza. Quando n = 3, La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si deduce anche dalla identità di Lagrange, che assume la forma da cui segue immediatamente la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.