Dimostrazione della derivata del prodotto di due funzioni

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tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il Teorema della derivata del prodotto di due funzioni permette di riconoscere la derivabilità di funzioni che si costruiscono con le operazioni algebriche elementari: in realtà, oltre a garantire la derivabilità delle funzioni "costruite", esso fornisce anche un'espressione per le proprie derivate.
Precisamente, questo enunciato afferma che: siano "f" e "g" due funzioni da "R" in "R" e sia "x" un punto d'accumulazione, qualora "f" e "g" siano derivabili in "x", si ha che il prodotto "f * g" è altrettanto derivabile nel punto "x" e la propria derivata è pari a "D[f (x) * g (x)] = f'(x) * g (x) + f (x) * g'(x)".
Nella seguente trattazione, vi dimostrerò questa cosiddetta regola di derivazione del prodotto di due funzioni. Vediamo insieme dunque la dimostrazione.

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Enunciato

Occorre innanzitutto specificare l'enunciato, per cui dovete assolutamente sapere che: dato un insieme "A", un sottoinsieme dei numeri reali "R" ed un punto "k" facente parte di "R", si dice che "k" rappresenta un punto d'accumulazione per l'insieme "A", se in ciascun intorno di "k" esiste un elemento "x" differente da "k" ed appartenente ad "A".

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Dimostrazione

Date due funzioni "f (x)" e "g (x)", bisogna dimostrare che la derivata del prodotto tra esse è uguale alla derivata della prima funzione per la seconda non derivata più la "f (x)" non derivata per la derivata di "g (x)", ovvero che "D[f (x) * g (x)] = f'(x) * g (x) + f (x) * g'(x)".
Durante la dimostrazione, i limiti vengono fatti per l'incremento "h" tendente allo zero: per motivi d'editor, non scriverò sotto al limite "h --> 0", ma mi limiterò a scrivere solamente la parola "lim". Per la definizione di derivata di una funzione (il limite del rapporto incrementale), si ha che "D[f (x) * g (x)] = lim {[f (x+h) * g (x+h) - f (x) * g (x)]} / h: sommando e sottraendo "g (x+h)" ed "f (x)" all'espressione precedente, otterrete la seguente relazione: "lim {[f (x+h) * g (x+h) - f (x) * g (x) + g (x+h) * f (x) - g (x+h) * f (x)]} / h.

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Conclusione

Adesso, mettete in evidenza "g (x+h)" tra il primo e l'ultimo termine ed "f (x)" tra il secondo ed il terzo termine: cosi facendo, si ottiene "lim {g (x+h) * [f (x+h) - f (x)] + f (x) * [g (x+h) - g (x)]} / h.
Dopodichè, sarà possibile spezzare il denominatore "lim {g (x+h) * [f (x+h) - f (x)]} / h + {f (x) * [g (x+h) - g (x)]} / h" e, quindi, si avranno i limiti dei rapporti incrementali di "f (x)" e "g (x)": inoltre, avrete ritrovato "g (x+h)" e "f (x)" che, per "h" tendente a zero, tendono a "g (x)" ed "f (x)".
Pertanto, si ha "g (x) * f'(x) + f (x) * g'(x) = f'(x) * g (x) + f (x) * g'(x)": attraverso il medesimo procedimento, questa dimostrazione si potrebbe estendere anche per più di due funzioni.

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