Dimostrazione della continuità di una funzione derivabile

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La funzione è una applicazione matematica formata da x argomento o valore della variabile indipendente detto dominio della funzione e y valore della variabile dipendente, detto condominio della funzione. In esami o compiti in classe, spesso capita agli studenti di imbattersi nella funzione derivabili, a volte dovendo dimostrare anche la sua continuità. Vediamo ad esempio le caratteristiche di una funzione e vediamo di dare una dimostrazione su come è possibile risolvere la derivabile.

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Il significato

Per poter risolvere una funzione derivabile è fondamentale conoscere il suo significato e le sue caratteristiche. Ma come si può comprendere se una funzione è derivata oppure no? Bisogna prima di tutto comprendere quale sia la condizione di derivabilità in un punto o in un intervallo. Si definisce derivata in un intervallo, la funzione la cui derivata prima è continua in un intervallo. La definizione di continuità e derivabilità solitamente vengono fornite su insiemi aperti. Per verificare che essa sia continua nell'intervallo bisogna escludere i punti fuori del dominio di definizione della funzione. Perché sia derivata in un intervallo, insomma, basta che la funzione sia derivata in ogni punto dell'intervallo. È derivata in un punto, invece, se in quel punto la funzione è continua e se esiste un rapporto incrementale.

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La condizione

La condizione imprescindibile, necessaria e sufficiente, perché una funzione sia derivata in un punto è che i limiti sinistro e destro siano finiti e che tali limiti coincidano con la valutazione della derivata prima. Il limite della derivata prima in una funzione solitamente si calcola alla presenza di tre punti definiti di non derivabilità: punto angoloso, ovvero la funzione non è derivata quando i due limiti del rapporto incrementale sono entrambi finiti ma hanno valori diversi; cuspide quando i due limiti (sinistro e destro) sono infiniti e di segno opposto; flesso a tangente verticale quando i due limiti siano infiniti dello stesso segno.

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Il dominio

Ricordiamo poi che la funzione è derivabile in un punto x0 del suo dominio se è continua in tale punto e se i due limiti del rapporto incrementale siano finiti e uguali. È importante dire inoltre che se una funzione è derivabile in x0 allora essa è continua in tale punto. Esempio: considerando la funzione y = valore assoluto di x. Questa è continua ovunque ma non derivabile in x0 = 0 perché il limite del rapporto incrementale non esiste essendo diversi i limiti destro e sinistro.

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