Dimostrazione del teorema di Kelvin

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tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Uno dei teoremi più importanti nella meccanica del fluido, oltre che nella trasmissione del calore, è certamente il teorema di Kelvin, anche detto teorema di Kelvin-Stokes o teorema del rotore. Questo enunciato è un caso particolare del teorema di Stokes e racchiude a sua volta un altro caso particolare, il teorema di Green. Ma cosa ci dice questo assunto? In particolari campi vettoriali, il flusso del rotore attraverso superfici chiuse è pari alla circuitazione del campo stesso lungo la superficie. Vediamo, allora, come si procede alla dimostrazione del Teorema di Kelvin. La dimostrazione in oggetto si baserà sull'esempio idraulico in modo da essere meno astratta possibile.

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Simbolismo e premesse iniziali

Prima di procedere alla dimostrazione vera e propria dobbiamo essere sicuri di comprendere bene quali termini sono in gioco e da quali simboli sono indicati. Si definisce la curva che chiude la superficie con la lettera greca corsiva gamma (ɣ), la vorticità con la lettera greca minuscola omega (ω), la "circolazione" con la gamma maiuscola (Γ), la superficie con la S maiuscola, la normale alla superficie con la n minuscola e lo spostamento elementare dalla x minuscola. Una volta definito ciò dobbiamo sapere che la circuitazione è la derivata temporale della circolazione, che la circolazione è risultato dell'integrale circolare su ɣ della velocità e che quest'ultimo integrale equivale all'integrale sulla superficie del rotore della velocità stessa.

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Dimostrazione

Abbiamo piantato le basi del nostro percorso e possiamo ora procedere ad illustrare la nostra tesi, riassunta dalla frase: "Nelle condizioni espresse in precedenza la circuitazione è nulla". Ritorniamo alla definizione di circolazione: essa rappresenta, come visto, sia l'integrale chiuso della velocità, sia l'integrale su S del rotore della velocità, moltiplicato scalarmente per la normale della superficie stessa. È anche vero però, che il rotore della velocità è pari alla vorticità. Andiamo ad derivare rispetto al tempo il primo integrale, considerando che x, v ed S sono variabili nel tempo. La derivata composta darà, all'interno dell'integrale, due "pezzi", uno composto dal prodotto scalare fra derivata della velocità e spostamento, ed un altro prodotto scalare fra la velocità e la derivata seconda (rispetto alla superficie e al tempo) di x. Il primo fattore è nullo in quanto è la derivata rispetto alla stessa curva che abbiamo scelto come riferimento, il secondo anche poiché il prodotto scritto è un differenziale esatto. Il nostro risultato sarà, quindi, proprio zero.

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Implicazioni e corollario

L'importanza del teorema appena dimostrato è spiegata, in un ristretto gruppo di casi, dalla potenza delle semplificazioni che esso ammette. Con una circuitazione nulla siamo in presenza di un campo solenoidale, quindi irrotazionale. Il corollario a questo teorema, ristretto alle semplici superfici a due dimensioni, dice che in una regione di fluido chiusa, ammesso che sia irrotazionale e che si muova con la stessa velocità del suo bordo, essa sarà irrotazionale in ogni punto del campo del moto.

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