Dimostrazione del teorema di Jensen

Nel campo dello studio di funzioni esiste una miriade di teoremi e enunciati che hanno arricchito, durante gli anni, questa materia complessa fino a farla diventare una branca fondamentale di qualsiasi studio di tipo statistico-matematico.
Tra i vari teoremi oggi ci occupiamo del Teorema di Jensen o anche detto Diseguaglianza integrale di Jensen", dal matematico danese che la definì: Johan Jensen. Questo enunciato ha rappresentato uno spartiacque nello studio dei domini di un certo carattere e si occupa principalmente di analizzare alcune delle caratteristiche delle funzioni di tipo convesso. Andiamo, allora, dopo aver dato un'occhiata rapida all'enunciato, a studiare la dimostrazione di questa diseguaglianza. Si ricorda che, prima di procedere in questa lettura, è necessario essere in possesso delle basi dello studio algebrico degli spazi vettoriali e della relativa nomenclatura.

• Basi di algebra lineare

La diseguaglianza integrale di Jensen nella sua forma più generale afferma:
"Dati due spazi vettoriali X e C, il primo localmente convesso ed il secondo convesso boreliano, un µ appartenente ad un intervallo N chiuso di C, una funzione f convessa e semicontinua inferiormente definita in C con codominio in R, se esiste il baricentro xµ definito in C allora:
- Esiste l'integrale definito in C di f, rispetto a µ;
- Il valore di f nel suo baricentro è minore o uguale al valore del suddetto integrale.

La dimostrazione di questo teorema prevede la conoscenza delle nozioni fondamentali del calcolo integrali, oltre che un buon rapporto con le proprietà delle funzioni. Procediamo:
- La prima informazione a cui possiamo giungere è che, per come è stato definito lo spazio C, anche f, come esso, sarà boreliana;
- Dall'ipotesi precedente si arriva a dire che esiste una funzione b (x), somma di un'aliquota n (x) stellata più un coefficiente numerico alfa, che appartiene a X. Essendo n stellata, ed esistendo un baricentro µ, allora essa appartiene all'insieme di valori L1. Quindi a appartiene anch'essa a L1 ed il suo integrale è quindi definito inferiormente;
- Poniamo, per assurdo che il valore di f nel baricentro sia maggiore del suo integrale su C, allora per ciò che è stato detto nello step precedente, a sarà maggiore dell'integrale, ma inferiore ad f;
- Continuando sulla linea dell'assurdo, ricordando la somma che definisce a, si arriva a dire che l'integrale su C di f è maggiore dell'integrale di a nello stesso campo. Ciò non è possibile, però, perché il risultato di quest'ultimo integrale, scomponendolo nella sua somma, da proprio l'integrale di f.

Da questa disuguaglianza partono radialmente almeno tre corollari, tutti importanti a loro modo. Il primo, chiamato "Diseguaglianza di Hermite-Hadamard", dice che se f è continua in un intervallo I di R allora il valore di f nel suo punto medio è minore del valore della media di f. Il secondo corollario, o "seconda diseguaglianza di Jensen", affonda le sue radici nel campo della probabilità e meriterebbe uno studio a parte. L'ultimo, ma non per importanza, è il terzo corollario che si occupa di definire le proprietà di X, nel caso esso sia anche uno spazio di Banach.

• Prima di studiare questo teorema cercate di capire bene quali siano le proprietà degli spazi vettoriali e quali di queste possano servirvi.

• Le varie forme del teorema

• Come risolvere l'integrale del logaritmo
• Come risolvere un integrale improprio