Dimostrazione del teorema di Jensen

Tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Nel campo dello studio di funzioni esiste una miriade di teoremi e enunciati che hanno arricchito, durante gli anni, questa materia complessa fino a farla diventare una branca fondamentale di qualsiasi studio di tipo statistico-matematico.
Tra i vari teoremi oggi ci occupiamo del Teorema di Jensen o anche detto Diseguaglianza integrale di Jensen", dal matematico danese che la definì: Johan Jensen. Questo enunciato ha rappresentato uno spartiacque nello studio dei domini di un certo carattere e si occupa principalmente di analizzare alcune delle caratteristiche delle funzioni di tipo convesso. Andiamo, allora, dopo aver dato un'occhiata rapida all'enunciato, a studiare la dimostrazione di questa diseguaglianza. Si ricorda che, prima di procedere in questa lettura, è necessario essere in possesso delle basi dello studio algebrico degli spazi vettoriali e della relativa nomenclatura.

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Occorrente

  • Basi di algebra lineare
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Enunciato

La diseguaglianza integrale di Jensen nella sua forma più generale afferma:
"Dati due spazi vettoriali X e C, il primo localmente convesso ed il secondo convesso boreliano, un µ appartenente ad un intervallo N chiuso di C, una funzione f convessa e semicontinua inferiormente definita in C con codominio in R, se esiste il baricentro xµ definito in C allora:
- Esiste l'integrale definito in C di f, rispetto a µ;
- Il valore di f nel suo baricentro è minore o uguale al valore del suddetto integrale.

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Dimostrazione

La dimostrazione di questo teorema prevede la conoscenza delle nozioni fondamentali del calcolo integrali, oltre che un buon rapporto con le proprietà delle funzioni. Procediamo:
- La prima informazione a cui possiamo giungere è che, per come è stato definito lo spazio C, anche f, come esso, sarà boreliana;
- Dall'ipotesi precedente si arriva a dire che esiste una funzione b (x), somma di un'aliquota n (x) stellata più un coefficiente numerico alfa, che appartiene a X. Essendo n stellata, ed esistendo un baricentro µ, allora essa appartiene all'insieme di valori L1. Quindi a appartiene anch'essa a L1 ed il suo integrale è quindi definito inferiormente;
- Poniamo, per assurdo che il valore di f nel baricentro sia maggiore del suo integrale su C, allora per ciò che è stato detto nello step precedente, a sarà maggiore dell'integrale, ma inferiore ad f;
- Continuando sulla linea dell'assurdo, ricordando la somma che definisce a, si arriva a dire che l'integrale su C di f è maggiore dell'integrale di a nello stesso campo. Ciò non è possibile, però, perché il risultato di quest'ultimo integrale, scomponendolo nella sua somma, da proprio l'integrale di f.

Continua la lettura
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Corollari

Da questa disuguaglianza partono radialmente almeno tre corollari, tutti importanti a loro modo. Il primo, chiamato "Diseguaglianza di Hermite-Hadamard", dice che se f è continua in un intervallo I di R allora il valore di f nel suo punto medio è minore del valore della media di f. Il secondo corollario, o "seconda diseguaglianza di Jensen", affonda le sue radici nel campo della probabilità e meriterebbe uno studio a parte. L'ultimo, ma non per importanza, è il terzo corollario che si occupa di definire le proprietà di X, nel caso esso sia anche uno spazio di Banach.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Prima di studiare questo teorema cercate di capire bene quali siano le proprietà degli spazi vettoriali e quali di queste possano servirvi.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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