Dimostrazione del teorema di Jackson

L'ingegneria gestionale è quel particolare ramo che si occupa dell'organizzazione e della gestione di alcuni aspetti dell'industria (aspetti tecnici, organizzativi e operativi) dal punto di vista della qualità e della quantità del lavoro e del prodotto finito. Al pari degli altri rami dell'ingegneria, anche nella gestionale non mancano modelli di riferimento e teoremi applicabili dalla teoria alla pratica per risolvere questioni organizzative e logistiche. È il caso del teorema di Jackson, il quale viene applicato a partire dal modello omonimo. Ma in cosa consiste il teorema in questione? Di cosa si occupa? Vediamolo attraverso una dimostrazione.

• Libro di testo di ingegneria gestionale (basi)
• Libro di testo di ingegneria gestionale avanzata

Per introdurre il teorema di Jackson è necessario prima di tutto chiarire il campo d'applicazione del teorema stesso e del modello da cui è tratto. Il teorema di Jackson è inerente alle reti di code, le quali si differenziano in reti di code markoviane aperte, markoviane chiuse e non markoviane. Tra i modelli di reti markoviane più utilizzati vi è proprio il modello di Jackson, il quale appartiene ai modelli di rete aperta. Entriamo più nello specifico nell'ambito del teorema di di Jackson e della sua dimostrazione.

L'enunciato del teorema di Jackson afferma che data una rete di code aperta corrispondente al modello di Jackson, è possibile risolvere il sistema costituito dalle equazioni di bilancio dei flussi determinando le quantità dei nodi. Al risultare di determinate condizioni, tra cui l'appartenenza dei nodi all'interno dell'insieme N dei numeri naturali e il rapporto tra la sommatoria dei nodi e il prodotto tra mi e µi (rapporto che dovrà essere minore di 1), il sistema potrà essere rappresentato con una catena di Markov a tempo continuo (CTMC) irriducibile con tutti gli stati ricorrenti positivi. Il teorema prevede anche che si dimostri la distribuzione della probabilità a regime dello stato, attraverso l'impostazione di un sistema di equazioni.

Nel suo campo di applicazione, ovvero le reti di code aperte, il teorema di Jackson detiene un'importanza non irrilevante. Nel modello di Jackson, purché sia soddisfatta la condizione di stabilità, il sistema gode di una condizione di equilibrio stocastico all'interno del quale la distribuzione di probabilità congiunta è organizzata secondo una struttura precisa. Tale struttura prevede che la stessa risulti dal prodotto di distribuzioni di probabilità marginali, e prende il nome di "struttura prodotto". Determinare la probabilità congiunta permette quindi di calcolare a sua volta gli indici di prestazione relativi al comportamento della rete di code aperta.  

• Prima di approdare allo studio delle reti di code, approfondendo il concetto di modello e teorema di Jackson, è bene studiare e conoscere quelle che sono le basi imprescindibili dell'ingegneria gestionale, dall'analisi matematica sino alla statistica, e via dicendo. Senza le opportune basi, procedere nello studio di argomenti più complessi risulta pressoché impossibile.

• Introduzione alle reti di code
• Approfondimento sulle reti di code

• Il teorema di Koopmans