Dimostrazione del teorema di Ceva

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tramite: O2O
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Introduzione

Tra i teoremi più importanti, ma allo stesso tempo meno conosciuti, per quanto riguarda la geometria elementare non possiamo non citare il cosiddetto teorema di Ceva. Questo enunciato prende il nome dallo scienziato italiano che nel diciassettesimo secolo ne pose le basi all'interno del suo "De lineis rectis se invicem secantibus". Esso fornisce due condizioni, una necessaria e una sufficiente, affinché tre rette ceviane si incontrino in uno stesso punto. Per retta ceviana si indica una retta che congiunge il vertice di un triangolo con il lato ad esso opposto. Esse possono essere chiamate, restringendo il discorso al solo triangolo, segmenti ceviani. Andiamo allora ad illustrare enunciato e dimostrazione del teorema di Ceva.

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Enunciato

Dato un triangolo qualsiasi ABC, disegnate tre rette ceviane passante per un unico punto, chiamato O, il rapporto fra i due tranci in cui vengono divisi i lati sono costanti e, in particolare, uguali ad uno. Ovvero, chiamati D, F, G i tre punti formati dalle ceviane sui lati AB, BC e CA vale: AD/DB = BF/FC = CG/GA = 1.

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Dimostrazione

Una volta disegnate le tre ceviane consideriamo i due triangoli ADO e DBO: essi hanno le altezze rispetto alle basi uguali, quindi il rapporto tra le superfici e le altezze saranno proporzionali. Possiamo estendere il concetto anche alle aree di ADC e DBC e, per la proprietà transitiva, anche il loro rapporto sarà proporzionale a quello delle altezze espresse precedentemente. Ragionamento analogo va fatto per i triangoli AOC e BOC e, a cascata, per gli altri due lati del triangolo. Una volta appurate queste relazioni andiamo a svilupparle anche per le basi derivanti dai lati BC e CA, scoprendo che sono pressoché identiche a quelle trovate precedentemente. Andando, quindi, a unire i risultati ottenuti per i tre lati si evince che i rapporti tra le frazioni di lato sono tutti uguali, in particolari sono proprio uguali ad 1.

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Conseguenze

Le conseguenze di questo discorso posso essere fondamentali quando andiamo ad illustrare le proprietà del triangolo in generale. Da qui, ad esempio, discende l'informazione, ad un primo sguardo banale, che le mediane di un triangolo concorrono in uno stesso punto. Altra conseguenza simile è quella che porta alla stessa conclusione il relazione alle bisettrici: anch'esse concorrono in uno stesso punto, diverso, però, da quello precedente. Ancora, da questo teorema si può dimostrare l'esistenza del baricentro del triangolo. Ultimo, ma non per importanza, il teorema di Steward è diretta conseguenza del teorema in oggetto.

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