Dimostrazione del teorema di Castigliano

Tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Nel campo della statica delle strutture un teorema fondamentale è quello di Castigliano, alla base del cosiddetto metodo di castigliano, utilissimo negli esercizi di tecniche di costruzioni e resistenza dei materiali. Il teorema si occupa di correlare il movimento di un solido, in rotazione o in traslazione, con il campo di forze in cui è immerso, o, in alternativa, con i momenti che tali forze concorrono a creare. In questi esercizi, attraverso questo metodo, potremo calcolare l'entità dello spostamento del punto di applicazione della forza rispetto al lavoro di deformazione. Andiamo, però, prima di applicarlo, a descrivere la dimostrazione del teorema di Castigliano.

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Enunciato

Il teorema in oggetto, da un punto di vista puramente enunciativo, dice: il movimento di un corpo, assunto essere di rotazione o traslazione, è fornito dalla derivata parziale della deformazione elastica rispetto alla forza applicata nel punto scelto come riferimento. In altre parole, presa una qualsiasi forza F agente sul corpo, lo spostamento del suo punto di applicazione u è dato dalla derivata parziale dell'energia elastica U rispetto ad F stessa.

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Dimostrazione

Prendiamo in considerazione due sistemi continui di punti, S1 ed S2, e immaginiamo che siano applicate le stesse forze F1, F2, F3, ecc in tutti i punti dei sistemi ad eccezione di un solo punto, ad esempio i dove andiamo ad applicare oltre ad Fi anche una ΔF in aggiunta. A questo punto il campo degli spostamenti dei due sistemi sarà identica a meno di un ulteriore Δui nel secondo. Applicando il teorema di Betti sappiamo che la sommatoria dei prodotti scalari tra forze e spostamenti devono essere uguali tra i sistemi, più un'aliquota dovuta alla differenza di spostamento in ui. In aggiunta, dal teorema di Clapeyron il lavoro di deformazione è pari a metà del lavoro virtuale, quindi a metà della sommatoria espressa precedentemente. Andando a sostituire queste quantità nell'equazione data dal teorema di Betti, aggiungendo e sottraendo la quantità in eccedenza nel sistema 2 e compiendo tutti procedimenti matematici dovuti otteniamo proprio la derivata espressa dal teorema di Castigliano.

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Precisazioni e considerazioni finali

Questo teorema abbraccia una serie infinita di applicazioni ma, a seconda dei casi, può essere descritto, citato ed utilizzato in maniera molto differente. Bisogna, quinid, fare attenzione a non dimenticare nessuno dei fattori delle sommatorie, come nessuno dei prodotti scalari, rimanendo concentrati sul sistema di riferimento scelto all'inizio del problema. Questo è uno strumento molto potente e, nelle giuste condizioni, può semplificare di molto dei calcoli che sarebbero molto lunghi e complicati.

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