Derivate: regole di derivazione parziale

La matematica è una materia piuttosto ampia e complessa che racchiude in se moltissimi argomenti, molti dei quali collegati fra di loro. Tra gli argomenti più discussi e spiegati in ogni classe possiamo trovare le derivate parziali. Per imparare al meglio questo argomento è bene partire dalle basi, per poi affrontare problemi più complessi.
Il termine derivazione parziale implica l'esistenza di una funzione di più variabili:
Esempio:

z= f (x, y)

La derivata, in generale, può essere immaginata come la pendenza della funzione, in un singolo punto, definito dalle coordinate (es: x ed y). Per una funzione a 2 variabili possiamo immaginare f come una superficie e la derivata parziale descrive il variare della pendenza della funzione f rispetto ad una singola coordinata (es: x), tenendo costante l'altra (y), il che si può rappresentare graficamente come nell'immagine sezionando la funzione con un piano A= y costante (si indica con trattino sopra), e trattando la funzione che si ottiene come z= f (x).
Si da per scontata la conoscenza delle derivate, ricordando solo le regole principali.

• Foglio, penna concentrazione

Passiamo alla definizione formale:
A parole: "La derivata parziale di f rispetto ad x è data dal limite per x che tende ad "x con 0" (x0) se questo limite è finito".
Ovvero, nel punto (x0, y0) il

lim [f (x, y0) − f (x0, y0)]/(x − x0), se questo limite è finito.
x ->x0

ovvero varia solo x, ed y rimane costante, viceversa se deriviamo rispetto ad y (piano ortogonale, B= x costante (nell'immagine principale).

Come simboli, le derivate parziali si esprimono in questo modo:
∂f/∂x.

Esempi pratici:
f (x, y) = x^2*y*e^xy^2

La derivata parziale rispetto ad x è:
∂f/∂x= 2xy*e^xy^2+ x2y e^xy^2・ y2= 2xy e^xy^2+x2y3 e^xy^2

La derivata parziale rispetto ad y è:
∂f/∂y = x2e^xy^2+ x2y e^xy^2・ 2xy = x2e^xy^2+ 2 x3 y2e^xy^2

Proviamo a spiegarlo in modo più approfondito e mettendo k al posto della variabile rispetto a cui non deriviamo:

Se derivo rispetto ad x (y rimane costante) è:
f (x) = x2k*e^xk^2
(applico Leibniz ed esponenziale)
∂f/∂x= 2xk*e^xk^2+ x2k e^xk^2・ k2= 2xk e^xk^2 + x2y3e^xk^2
Se derivo rispetto ad y è:
f (y)= k2y*e^ky^2 ∂f/∂y = k2e^ky^2+ k2y e^ky^2・ 2ky = k2 e^ky^2+ 2 k3 y2 e^ky^2.

A questo punto si torna alle regole delle derivate delle funzioni ad una variabile, trattando y come una costante: y=K, per semplicità possiamo chiamarla così, in modo da avere meno variabili apparenti.

Ricordiamo le derivate basilari, e loro regole.

Funzione costante:
f = costante -> derivata = df/dx = 0

Funzione lineare:
f = x -> derivata = df/dx = 1

Funzione esponenziale:
f = x ^n-> derivata = df/dx = n x^ n-1

Funzione logaritmica
y = ln x dy/dx = 1/xy = log a (x) dy/dx = 1/(x ln a)

Moltiplicata per una costante k:
z= k f (x) -> dz/dx (= z') = k * f'(x) (si porta fuori la costante).

Derivata della somma= somma delle derivate.

Derivata del prodotto (regola di Leibniz):
y= f (x) *g (x) dy/dx= f’ (x)*g (x) + f (x) *g’(x)

Derivata del quoziente:
y= f (x)/g (x) dy/dx = [f’(x) g (x)+f (x) g’(x)]/[g (x)]2

Derivata di funzioni composte:
y= f[g (x)] dy/dx= f’[g (x)]g’(x).
Per capire a fondo le derivate è necessario eseguire molti esercizi, solo con la pratica sara' possibile acquisire una conoscenza profonda della materia. Se siete degli studenti alle prese con le derivate e ancora non avete capito, allora i suggerimenti di questa guida faranno esattamente al caso vostro. Vi auguro quindi buon lavoro e buono studio.
Alla prossima.

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