Criteri di congruenza dei triangoli: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In geometria si definiscono congruenti due poligoni che hanno stessa forma e dimensione. In maniera più rigorosa si definiscono congruenti due poligoni che possono essere trasformati l’uno nell’altro tramite operazioni isometriche, di traslazione, di rotazione o di riflessione. La congruenza dei triangoli è una specializzazione delle regole generali esistenti sui poligoni. Nel dettaglio esistono tre criteri di congruenza dei triangoli e per ognuno di essi la relativa dimostrazione. In questa guida analizzeremo i criteri di congruenza dei triangoli e procederemo alla loro dimostrazione.

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Il primo criterio afferma che due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso. Dati due triangoli ABC e A'B'C' che abbiano AB=A'B', BC=B'C' e l'angolo B=B', dimostriamo la loro congruenza. Per cui visto che l'angolo in B=B', esiste un movimento che porta tali angoli a sovrapporsi, per cui le semirette AB e BC vanno rispettivamente sulle semirette A'B' e B'C'; i segmenti AB e BC di tali semirette, coincidono con i segmenti A'B' e B'C' ad essi congruenti. Per cui si evince che i tre vertici dei due triangoli coincidono, allora ne consegue che i due triangoli sono congruenti.

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L'enunciato del secondo criterio, per quanto concerne i triangoli, afferma che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti un lato e i due angoli adiacenti. Pertanto i triangoli ABC e A'B'C' hanno AB=A'B', l'angolo in A=A' e l'angolo in B=B'; partendo da questa tesi procediamo a dimostrare che i due triangoli sono congruenti. Il movimento che porta la semiretta AB sulla semiretta A'B' ed il semipiano (AB, C) su (A'B', C'), essendo AB=A'B' porta a coincidere naturalmente anche B con B'. Lo stesso movimento, essendo l'angolo in A=A' e l'angolo B=B', porta anche la semiretta AC a coincidere con la semiretta A'C' e la semiretta BC a sovrapporsi sulla semiretta B'C', ne consegue che il punto C coincide con C''. Pertanto abbiamo dimostrato l'ipotesi iniziale e pertanto il secondo enunciato di congruenza dei triangoli.

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Infine il terzo criterio che dimostreremo ha come ipotesi la seguente formulazione: due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti i tre lati. Siano dati i triangoli ABC e A'B'C' aventi, per ipotesi, i tre lati ordinatamente congruenti. Si vuol dimostrare che essi sono congruenti. Consideriamo il triangolo ABC e sul lato AC procediamo con il costruire il triangolo AB"C congruente al triangolo A'B'C'. Il segmento BB" incontrerà la retta AC in un punto P, che potrà essere interno al segmento AC o, coincidente con uno dei suoi estremi, o anche esterno. Prendendo in considerazione la prima casistica. Il triangolo ABB" ha AB= AB", perché entrambi congruenti ad A'B' perciò è isoscele ed avrà l'angolo in B=B". Anche il triangolo BCB'' ha BC=B"C, perché entrambi congruenti a B'C', perciò anch'esso è isoscele ed avrà l'angolo in B=B''. Allora gli angoli in B e B" sono congruenti e di conseguenza i triangoli ABC ed A'B'C', avendo due lati e l'angolo compreso ordinatamente congruenti sono congruenti per il primo criterio d'uguaglianza ne consegue che i triangoli ABC ed A'B'C' sono congruenti in quanto entrambi congruenti ad AB"C.

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