Criteri di congruenza dei triangoli: dimostrazione

Tramite: O2O 23/12/2020
Difficoltà: media
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Introduzione

In geometria si definiscono congruenti due poligoni che hanno stessa forma e dimensione. In maniera più rigorosa si definiscono congruenti due poligoni che possono essere trasformati l?uno nell?altro tramite operazioni isometriche, di traslazione, di rotazione o di riflessione. Come per i poligoni, due triangoli sono congruenti se uno di essi si può sovrapporre esattamente sull'altro. In tal casi i tre lati e i tre angoli di uno di essi, coincidono e sono quindi ordinatamente uguali ai tre lati ed ai tre angoli dell'altro. Ovviamente non è necessario che vengano verificate tutte le uguaglianze, per poter affermare che i triangoli sono congruenti. Ma che la congruenza dei poligoni si può stabilire da quella di soli tre di alcuni dei loro elementi, convenientemente scelti. In questo modo otterrete le seguenti proporzioni, che prendono il nome di criteri di congruenza dei triangoli. La congruenza dei triangoli è una specializzazione delle regole generali esistenti sui poligoni. Nel dettaglio esistono tre criteri di congruenza dei triangoli e per ognuno di essi la relativa dimostrazione. Nella seguente guida indico la dimostrazione i criteri di congruenza dei triangoli.

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Occorrente

  • Libro di geometria
  • Foglio
  • Penna
  • Matita
  • Squadra
  • Riga
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Dimostrazione del primo criterio

Per dimostrare il primo criterio, bisogna che analizzate attentamente la definizione. Questa afferma che due triangoli sono afferma che due triangoli se hanno ordinatamente congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso. Per fare un esempio dati due triangoli ABC, disegnate su un foglio un segmento A'B' = AB e costruite un angolo A congruente ad A ed avente il lato in A'B'. Staccate sul secondo lato e p di tale angolo il segmento A'C' = AC e congiungete B' con C'. Fatto ciò, otterrete il triangolo A'B'C' che per costruzione contiene: A'B'= AB, A'C'= AC, A' =A'. Quindi i due triangoli ABC ed A'B'C' hanno rispettivamente congruenti due coppie di lati e l'angoli fra di esso compreso. Inoltre se provate a ritagliare il triangolo A'B'C', potrete verificare che è esattamente sovrapponibile ad ABC. Vi lascio un secondo esempio. Dati i due triangoli ABC e A'B'C' che abbiano AB=A'B', BC=B'C' e l'angolo B=B', vi dimostro la loro congruenza. Per cui visto che l'angolo in B=B', esiste un movimento che porta tali angoli a sovrapporsi, per cui le semirette AB e BC vanno rispettivamente sulle semirette A'B' e B'C'; i segmenti AB e BC di tali semirette, coincidono con i segmenti A'B' e B'C' ad essi congruenti. Per cui si evince che i tre vertici dei due triangoli coincidono, allora ne consegue che i due triangoli sono congruenti.

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Dimostrazione del secondo criterio

La dimostrazione del secondo criterio, per quanto concerne i triangoli, afferma che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti un lato e i due angoli adiacenti. Pertanto i triangoli ABC e A'B'C' hanno AB=A'B', l'angolo in A=A' e l'angolo in B=B'; partendo da questa tesi procediamo a dimostrare che i due triangoli sono congruenti. Il movimento che porta la semiretta AB sulla semiretta A'B' ed il semipiano (AB, C) su (A'B', C'), essendo AB=A'B' porta a coincidere naturalmente anche B con B'. Lo stesso movimento, essendo l'angolo in A=A' e l'angolo B=B', porta anche la semiretta AC a coincidere con la semiretta A'C' e la semiretta BC a sovrapporsi sulla semiretta B'C', ne consegue che il punto C coincide con C''. Un altro esempio può essere eseguito con questa dimostrazione pratica. Dato un triangolo ABC, tracciate su un foglio un segmento B'C' = BC e costruite due angoli B' e C', rispettivamente congruenti ai due angoli B' e C', ed aventi un lato nel segmento B'C'. I lati p e q, non comuni di tali due angoli, si intersecheranno in un punto A', che insieme a B' e C', determinerà un altro triangolo A'B'C' il quale per costruire contiene: C'B'= CB, B'= B, C'= C. Pertanto i due triangoli ABC e A'B'C' hanno rispettivamente congruente un lato ed i due angoli adiacenti ad esso. Infatti se ritagliate il triangolo A'B'C', potete sovrapporlo esattamente al triangolo ABC.

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Dimostrazione del terzo criterio

Pe concludere, il terzo criterio che vi dimostrerò ha come ipotesi la seguente formulazione: due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti i tre lati. Siano dati i triangoli ABC e A'B'C' aventi, per ipotesi, i tre lati ordinatamente congruenti. Si vuol dimostrare che essi sono congruenti. Considerate che il triangolo ABC e sul lato AC, quindi procedete con il costruire il triangolo AB"C congruente al triangolo A'B'C'. Il segmento BB" incontrerà la retta AC in un punto P, che potrà essere interno al segmento AC o, coincidente con uno dei suoi estremi, o anche esterno. Prendendo in considerazione la prima casistica. Il triangolo ABB" ha AB= AB", perché entrambi congruenti ad A'B' perciò è isoscele ed avrà l'angolo in B=B". Anche il triangolo BCB'' ha BC=B"C, perché entrambi congruenti a B'C', perciò anch'esso è isoscele ed avrà l'angolo in B=B''. Allora gli angoli in B e B" sono congruenti e di conseguenza i triangoli ABC ed A'B'C', avendo due lati e l'angolo compreso ordinatamente congruenti sono congruenti per il primo criterio d'uguaglianza ne consegue che i triangoli ABC ed A'B'C' sono congruenti in quanto entrambi congruenti ad AB"C.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Per i triangoli rettangoli oltre ai tre precedenti criteri si ha un quarto criterio che afferma: Se due triangoli rettangoli sono tali che le loro ipotenuse sono congruenti e che un cateto dell'uno è congruente ed un cateto dell'altro, i due triangoli sono tra loro congruenti
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