Coordinate polari e cartesiane: come convertirle tra loro

La matematica è una materia vasta che comprende in essa anche lo studio dell'analisi, attraverso la quale è possibile generare grafici studiandone le varie equazioni e generando dei grafici in due o tre dimensioni, sfruttando i tre assi cartesiani e i relativi piani di giacenza di ogni coordinata e punto. Il calcolo dell'esatta posizione di un punto collocato all'interno di un piano prevede l'impiego di due metodi d'identificazione: uno tramite le coordinate cartesiane e l'altro mediante quelle polari. Tali sistemi si differenziano principalmente nel procedimento logico utilizzato. Nel primo caso si applica la geometria cartesiana che si basa sugli assi "X" ed "Y" del piano, detto appunto "cartesiano". Nel secondo caso, invece, si ricorre alla geometria polare quindi le componenti utilizzate sono l'angolo di rotazione "θ" e la lunghezza del raggio "r", dall'origine degli assi fino al punto da determinare. Come possono i due sistemi dialogare tra loro? In questa guida esamineremo il rapporto esistente tra le coordinate polari e cartesiane, individuando il modo attraverso cui convertirle. Daremo quindi utili informazioni che vi aiuteranno certamente a capire come fare. Mettiamoci al lavoro.

• Conoscenze di trigonometria

La comprensione di questo metodo per convertire le coordinate polari in cartesiane, e viceversa, necessita di una capacità logica adatta ad individuare la posizione di un punto sul piano in entrambe i sistemi. Le coordinate cartesiane di un punto vengono anche chiamate rettangolari. Queste si ricavano tramite il calcolo della distanza dall'origine, detta "O", in tutte e due le direzioni di cui si compone il piano, cioè "X" e "Y". La componente "X" esprime la distanza orizzontale del punto dall'origine. La "Y", invece, rappresenta la distanza in verticale, quindi calcolata in altezza, tra l'origine degli assi ed il punto di posizionamento nel piano. Il modo corretto di rappresentazione delle coordinate in un punto P in un piano cartesiano risulta essere il seguente: P (X; Y).

Il processo di individuazione delle coordinate di un punto all'interno di un piano per quanto riguarda la geometria polare è diverso dal precedente. Infatti si procede mediante il calcolo della lunghezza del raggio "r" che passa per l'origine e per il punto "P". Inoltre viene misurato, in gradi, l'angolo "θ" che si forma tra il raggio e l'asse delle "X", cioè delle ascisse. Ecco come si individuano le coordinate di un punto P sul piano: P (r; θ). Ora i due differenti metodi di calcolo delle coordinate dei punti sul piano risultano più chiari. Procediamo, quindi, a comprendere come poter convertire tra di loro le due tipologie di coordinate, polari e cartesiane.

Il metodo di conversione tra coordinate cartesiane e polari si basa completamente sulla cosiddetta trigonometria di base. Conoscendo, come da figura, la distanza cartesiana sull'asse delle ascisse e delle coordinate che individuano il punto P (1;1), per individuare le coordinate polari (r; θ) si parte dal metodo pitagorico, per cui: [r]2 = [PN]2 + [ON]2 = [1]2 + [1]2 = 2, quindi [r] = √2 = 1,414. Con la trigonometria tangente, invece, si individua l'angolo tra il raggio "r" e l'asse "X": tanθ = PN / ON = 1 / 1 = 1 quindi θ=45°. Per cui avremo P (1,414;45°) in coordinate polari. Si può quindi sintetizzare la regola di conversione tra coordinate cartesiani e polari in questo modo: r = √ [x]2 + [y]2 e θ = tan-1(y/x). Similarmente per calcolare dalle coordinate polari quelle cartesiane, è necessario utilizzare le funzioni di seno e coseno, per cui la regola di conversione equivale a: x = r × cos (θ) e y = r × sin (θ).
L'analisi è una materia piuttosto complessa e richiede tempo per essere appresa e metabolizzata. Uno studio costante con la relativa sessione di pratica, aiuterà certamente ad apprendere la materia molto più rapidamente. I consigli di questa guida faranno al caso vostro nel caso in cui vorrete usufruire di qualche spiegazione molto più semplice e rapida per poter effettuare le operazioni necessarie e velocizzare il processo di apprendimento. Vi raccomando anche di fare molte domande al vostro professore nel caso in cui non abbiate capito qualcosa. È certamente un modo per apprendere meglio. Vi auguro quindi buon lavoro.
Alla prossima.

• E' sempre bene calcolare un punto utilizzando entrambi i sistemi per avere la certezza della misurazione del punto da determinare

• Introduzione alla trigonometria

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