Continuità e discontinuità di una funzione

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Difficoltà: media
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Introduzione

L'analisi matematica è fondamentale per molteplici fisici e chimico fisici. In essa riveste un ruolo determinante il concetto di funzione. Una funzione è definita da un insieme X detto dominio ed un insieme Y definito codominio. Ad ogni elemento dell'insieme X (x) corrisponde UNO ed UN SOLO elemento della funzione Y (y). Immaginate di disegnare sul foglio due cerchi al cui interno, per ciascuno di essi, vi siano vari elementi. Ogni elemento del cerchio X dovrà corrispondere ad un altro elemento inserito nel cerchio Y. La funzione è dunque quella relazione che intercorre tra i due insiemi, dominio e codominio. Una volta capito in cosa consiste una funzione, possiamo fare un passo in avanti. In questa guida cercheremo, infatti, di capire, in modo semplice come possiamo capire la continuità e la discontinuità di una funzione.

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La continuità

La nozione di funzione ci permette di parlare di limiti. Il calcolo dei limiti serve per studiare il comportamento di una funzione e per verificare se si tratta di una funzione continua o discontinua. Una funzione si definisce continua nel punto x (zero) del suo dominio se il limite di x che tende a x (zero) coincide con la valutazione di x in x (zero). In poche parole partendo dalla funzione riportatela su un grafico, la funzione sarà continua se nel punto scelto, che per comodità chiamiamo x (zero), la funzione non presenta interruzioni. Matematicamente parlando, però, per verificare la continuità dovete accertare che il limite di x tendente a zero di f(x) è uguale a f(x0); il limite nel punto deve essere uguale al valore che la funzione assume in esso.

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La discontinuità

Se una funzione non è continua in un punto, si dice che è discontinua. Quando la funzione è continua in tutti i punti di un intervallo, si dice che è continua nell'intervallo. Le funzioni razionali intere sono continue per ogni valore reale di x (ad esempio x2+ 3x - 2), le funzioni razionali fratte, invece, sono continue per qualsiasi valore reale eccetto i punti in cui si annulla il denominatore. Ad esempio la funzione (x+3)/(x-2) non è continua se x=2. Una funzione, come abbiamo detto prima, è continua se in un punto i due limiti, sinistro e destro, esistono finiti ed hanno lo stesso valore. Il comune valore dei due limiti sinistro e destro deve coincidere con la valutazione della funzione nel punto. Una funzione, dunque, sarà discontinua quando quanto appena detto non si verifica.È utile specificare che non esiste un solo tipo di discontinuità, ma ce ne possono essere di tre differenti tipi, o per meglio dire tre diverse specie di discontinuità.

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Le tre specie di discontinuità

Diciamo che la funzione f ha in x0, ossia nel punto scelto, una discontinuità di prima specie se esistono finiti i due i due limiti sinistro e destro, ma non sono uguali. Per capire se il limite di f(x), con x tendente a 0, è diverso dal limite di (fx), con x sinistro tendente a 0. Nel grafico quando risultano due rette,ad esempio, una sull'asse delle x positive e l'altra sulla parte delle x negative. Una funzione ha invece una discontinuità di seconda specie se il limite di x che tende a 0 non esiste o uno almeno dei due limiti destro e sinistro vale infinito. Infine, una funzione ha una discontinuità di terza specie se i due limiti, destro e sinistro esistono finiti e sono uguali tra di loro, ma non coincidono con la valutazione della funzione nel punto. Limite di f(x) destro= limite di f(x) sinistro esistono finiti e diversi da f in x zero. Una discontinuità di terza specie è detta anche eliminabile, perché partendo da f è possibile definire una nuova funzione in modo da eliminare la discontinuità. Delle tre discontinuità spiegate, la terza è sicuramente la più complessa ed artificiosa.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Provate a disegnare il grafico e capirete subito se la funzione è continua o discontinua
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