Continuità e discontinuità di una funzione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

L'analisi matematica è fondamentale per molteplici fisici e chimico fisici; In essa riveste un ruolo determinante il concetto di funzione. Una funzione è definita da un insieme X detto dominio della funzione; un insieme Y definito codominio della funzione e infine una relazione che ad ogni elemento dell'insieme X (x) associa uno ed un solo elemento della funzione Y (y). In questa guida troverai tutta la spiegazione per farti capire in modo molto semplice il singolare concetto di continuità e discontinuità di una funzione attraverso alcuni facilissimi esempi.

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Funzione

Una funzione si definisce continua nel punto x (zero) del suo dominio se il suo limite di x che tende a x (zero) coincide con la valutazione di x in x (zero). Per capire bene questa definizione svolgiamo l'esempio riportato in figura. Nell'esempio riportato come primo caso (a) abbiamo ricavato il valore della funzione nel punto x=3 che ha fornito come risultato il valore 28. Nel secondo caso (b) è stato svolto il limite per x che tende a 3 della funzione, ottenendo analogamente il valore 28. In questo modo possiamo affermare che il valore della funzione nel punto 3 coincide con il valore che il limite di x che tende a 3 della funzione. Pertanto essa può essere definita continua.

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Discontinuità di prima specie

Si ha una discontinuità di prima specie quando limite destro e limite sinistro di una funzione esistono ma sono diversi tra loro. La discontinuità di prima specie è detta discontinuità a salto. Analizziamo l'esempio riportato a lato per capire il concetto teorico. In questo esercizio la presenza del modulo di x al denominatore determina un differente comportamento della funzione a seconda che il limite sia fatto per x tendente a zero da destra (x>0) o da sinistra (x<0); si ottengono pertanto due valori: più 1 o -1 a seconda dei due casi. Possiamo quindi affermare che la funzione segno abbia una discontinuità di prima specie.

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Discontinuità è di seconda specie

Una discontinuità è di seconda specie quando almeno uno dei due limiti, destro o sinistro di una funzione, non esiste o è uguale a infinito. Come nei precedenti casi svolgiamo un esercizio per comprendere la teoria. In questo esempio abbiamo una funzione razionale fratta per cui il limite di x che tende a 3 da sinistra fornisce come risultato meno infinito. Se avessimo svolto il limite di x che tende a 3 da destra avremmo ottenuto più infinito. Pertanto la funzione in oggetto ha una discontinuità di seconda specie nel punto x=3. Ed è tutto così spiegato.

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