Come verificare se una funzione è invertibile

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Le funzioni rappresentano relazioni fra due insiemi di numeri, detti dominio e codominio. Quando si definisce una funzione f (x)=y, dove x rappresenta il dominio e y il codominio, dobbiamo sempre domandarci se sia anche possibile effettuare il percorso inverso e come fare. Non tutte le funzioni consentono questo passaggio in maniera univoca, e per questo sono suddivise in tre grandi classi: iniettive, biettive e suriettive. Dobbiamo capire a quale classe appartiene f (x) per comprendere e verificare se è una funzione invertibile.

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Occorrente

  • Studio delle funzioni.
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Che cos'è una funzione inversa

È importante addentrarsi in uno studio più approfondito delle funzioni per capirne le proprietà. In sostanza è bene comprendere che una funzione invertibile è tale se accetta una funzione inversa. Quindi y = f (x) che è una funzione, può dirsi invertibile se esiste una ed una sola funzione in cui x=g (y). Se infatti ad un valore del codominio dovessero corrispondere più punti nel dominio potremmo non poter ricostruire un percorso unico. È altresì importante comprendere il fatto che da una funzione non globalmente invertibile se ne possono ricavare altre che invece lo sono, sia per trasformazione che localmente.

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Iniettività, suriettività e biettivtà

Una funzione che ad ogni elemento del dominio associa elementi del codominio si dice suriettiva, ma i punti de codominio possono non essere distinti, es f (x1)=f (x2), con x1 e x2 distinti fra loro.
Una funzione iniettiva associa ad elementi distinti del dominio elementi distinti del codominio, ma non tutti i punti del codominio devono essere necessariamente raggiungibili. In una funzione biunivoca, invece, ogni punto del dominio corrisponde ad un punto del codominio. La verifica algebrica è spesso complessa nei calcoli, ma semplice nel concetto, perché basta verificare che f (x1)=f (x2) è vero per ogni coppia di valori.

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Invertibilità

Dopo aver verificato a quale delle tre classi appartiene la nostra funzione y=f (x) possiamo verificarne l'invertibilità. La funzione è invertibile se è anche biettiva. In questo caso, infatti ogni elemento del dominio raggiunge uno ed un solo elemento del codominio, ma è vero anche l'inverso. Se infatti si cerca di passare da un punto del codominio ad uno del dominio il percorso è unico. Può essere utile per intuire il meccanismo, la rappresentazione grafica della funzione in cui si evidenzia la eventuale possibilità del percorso unico. Si deve ricordare comunque che molte funzioni che non sono globalmente invertibili, se calcolate in un sottodominio invece lo sono.

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