Come verificare se una funzione è invertibile

Tramite: O2O 21/10/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

KLe funzioni rappresentano relazioni fra due insiemi di numeri, detti dominio e codominio. Quando si definisce una funzione f (x)=y, dove x rappresenta il dominio e y il codominio, dobbiamo sempre domandarci se sia anche possibile effettuare il percorso inverso e come fare. Non tutte le funzioni consentono questo passaggio in maniera univoca, e per questo sono suddivise in tre grandi classi: iniettive, biettive, suriettive e biunivoche (che comprende entrambe le proprietà). Dobbiamo capire a quale classe appartiene f (x) e se risulterà biunivoca potremo dimostrare e verificare che tale funzione è invertibile.

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Occorrente

  • Foglio
  • Righello
  • Matita
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Funzione iniettiva

Innanzitutto, come abbiamo anticipato prima, una funzione per essere invertibile deve apparire biunivoca, ovvero sia iniettiva che suriettiva. Analizziamo dunque queste due proprietà.In particolare una funzione si dice iniettiva se ad elementi distinti del dominio associa elementi distinti del codominio. Ciò vale a dire che due elementi del dominio non possonono essere collegati ad un solo elemento del codominio. Graficamente possiamo immaginarci un piano cartesiano: ad ogni distinta ascissa non può corrispondere una stessa ordinata (per ogni x esistono diverse y).

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La funzione suriettiva

Diversamente una funzione si dice suriettiva se l?intero codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.Come in precedenza per semplificazione possiamo costruirci un piano cartesiano e realizzare una f(x) in modo che venga toccata ogni y. Più semplicemente questo sta ad indicare che, considerato come codominio l?intero insieme dei numeri reali, affinché una funzione sia suriettiva essa deve tendere all?infinito sia al negativo che al positivo. In questo caso dominio e codominio vengono invertiti.

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La funzione biunivoca

Una volta verificato che la funzione sia iniettiva e suriettiva, si può affermare che essa appare biunivoca, e quindi invertibile.Graficamente ci si può creare due sistemi ideali rappresentanti dominio e codominio. La funzione presa in esame è quella che collega gli elementi del primo insieme (dominio) a quelli del secondo insieme (codominio). Una funzione inversa f^(-1)(y) è semplicemente quella funzione che ad ogni elemento del secondo insieme collega un elemento del primo insieme.

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La limitazione del codominio

Abbiamo precedentemente considerato il codominio come l?intero insieme dei numeri reali. Esso però può anche essere un sottoinsieme di R. In questo caso si dice che il codominio viene limitato. Si può ricorrere alla limitazione del codominio, per esempio, anche per rendere la funzione biunivoca.Se pensiamo ad una parabola, questa infatti può essere divisa dal vertice in due funzioni identiche biunivoche, limitandone il codominio.

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Le funzioni con esponente dispari

Infine appare utile sapere che le funzioni avente esponenete dispari, ovvero y=x^n (con n dispari) appaiono sempre biunivoche e quindi invertibili.Se consideriamo ad esempio y=x^3, rappresentandola graficamente si può subito notare che essa appare sia iniettiva che suriettiva. La sua inversa sarà dunque x=y^(1/3).Oppure, più banalmente, consideriamo y=x. Questa funzione, che rappresenta la bisettrice del primo e del terzo quadrante, risulterà chiaramente biunivoca.Se vorrete procedere con le infinite dimostrazioni con i vari esponenti dispari (5,7,9,...) siete liberi di verificare autonomamente la veridicità di questa affermaziobe.

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Gli esempi

Consideriamo una funzione lineare y=2x+3.Per i criteri che abbiamo appena analizzato, tale funzione risulterà invertibile se e solo se apparirà biunivoca, ovvero iniettiva e suriettiva. Per dimostrare tali caratteristiche possiamo semplicemente rappresentare graficamente la funzione in un piano cartesiano. Una volta verificato che la funzione sia biunivoca, ne possiamo trarre l?inversa. La funzione inversa sarà x=(y-3)/2.

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