Come verificare se una funzione è continua

Durante lo studio di funzione uno dei passi principali per arrivare a rappresentare graficamente la funzione e per analizzare le proprietà della stessa, è quello di verificare se la funzione è continua, cioè se si esplicita come una curva continua, di cui tutti i punti sono definiti o se si deve rappresentare come una curva spezzata, dove uno o più punti o uno o più intervalli di punti non sono definiti. La cosa, scritta in questi termini, potrebbe sembrare più difficile di quel che è nella realtà ma non preoccupatevi, in questa guida vedremo in modo semplice e comprensibile, come verificare se una funzione è continua.

Come per ogni regola matematica, anche per lo studio di continuità di una funzione è opportuno partire dalla sua definizione analitica.
Per definizione, presi due punti qualsiasi arbitrariamente vicini nel dominio della funzione, si dice che la funzione in esame è continua se le immagini dei punti sono anch'esse arbitrariamente vicine. Quindi una funzione è continua nel punto x1 se il limite per x che tende a x1 della funzione corrisponde al valore della funzione nel punto x1.

Calcolare il dominio della funzione serve a definire le condizioni di esistenza della stessa, cioè ci aiuta ad evidenziare gli eventuali punti o intervalli in cui la funzione perde di significato, risultando non definita. Non per tutte le funzioni si utilizza lo stesso metodo, in particolare se la funzione è fratta bisognerà imporre il denominatore diverso da 0 (poiché è impossibile dividere un numero per 0), se invece la funzione presenta una radice con indice pari occorrerà imporre l'argomento della radice maggiore o uguale a 0 (perché non è possibile trovare la radice di un numero negativo) mentre se la funzione presenta un logaritmo bisognerà imporre l'argomento maggiore di 0.

A questo punto il risultato o i risultati ottenuti nel precedente passo della guida, ci permetteranno di verificare la continuità della funzione in ogni punto, per capire se è sempre continua, se è discontinua in uno o più punti o se è discontinua in uno o più intervalli di punti. In particolare se il dominio è formato da un unico intervallo senza altre condizioni (es: D=(a, b) la funzione sarà sicuramente continua in D e verrà rappresentata nel piano come una curva continua, mentre se il dominio è formato da unione di diversi intervalli la funzione presenterà discontinuità e andrà quindi rappresentata sul piano cartesiano come una curva che, in corrispondenza degli intervalli di discontinuià, sarà spezzata.

ESEMPIO 1: Verificare se le funzioni f (x)=1/(x+1) e g (x)=(x-1) log (x) siano continue o no.
Calcolo il dominio delle funzioni:
Df: (-inf,-1) U (-1, inf). Ho quindi una funzione non continua con una discontinuità in -1.
Dg: (0, inf). Ho quindi una funzione continua per ogni punto.

ESEMPIO 2: Verificare che una funzione sia continua in un unico punto.
Se voglio verificare che la funzione f (x) sia continua nel punto x=x1 basta verificare che il limite destro e sinistro per x che tende a x1 di f (x) siano uguali tra loro e uguali a f (x1).
Se la risposta è affermativa, la funzione è continua in x1, altrimenti no.

ESEMPIO 3: Verificare che le funzioni f (x)=1/x e g (x)=x+1 siano continue nel punto x=0.
I limiti destro e sinistro in 0 di f (x) sono rispettivamente +inf e -inf, quindi la f non è continua in 0.
i limiti destro e sinistro in 0 di g (x) sono entrambi 1, g (0)=1. Quindi g (x) è continua per x=0.