Come verificare se una funzione è continua

Durante lo studio di funzione uno dei passi principali per arrivare a rappresentare graficamente il suo andamento e per analizzare le proprietà della stessa, è quello di verificare se la funzione è continua. Questo è il caso di una funzione che si esplicita come una curva continua, di cui tutti i punti sono definiti o se si deve rappresentare come una curva spezzata, dove uno o più punti o uno o più intervalli di punti non sono definiti oppure se i limiti destro e sinistro di un punto non sono uguali o sono verificate altre condizioni più complesse. Alcune funzioni sono particolarmente ostiche perché a causa della densità dei cambiamenti di segno e delle oscillazioni diventano difficili da leggere. La cosa, scritta in questi termini, potrebbe sembrare più difficile di quel che è nella realtà ma non preoccupatevi, in questa guida vedremo in modo semplice e comprensibile, come verificare se una funzione è continua.

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Come per ogni regola matematica, anche per lo studio di continuità di una funzione è opportuno partire dalla sua definizione analitica. Per definizione, presi due punti qualsiasi arbitrariamente vicini nel dominio della funzione, si dice che la funzione in esame è continua se le immagini dei punti sono anch'esse arbitrariamente vicine. Quindi una funzione è continua nel punto x1 se il limite per x che tende a x1 della funzione corrisponde al valore della funzione nel punto x1. Questa condizione però non è sufficiente perché non definisce chiaramente il concetto di vicinanza. Serve un passaggio al limite, ed in sostanza si deve affermare che il valore assunto a destra e a sinistra del punto, per un valore di distanza che tende a zero resta identico. Esistono però funzioni che hanno una discontinuità detta di terza specie, in cui i valori a destra e sinistra di un punto sono finiti ed uguali fra loro, ma quel punto non fa parte del dominio. Si parla di discontinuità eliminabile, perché è sufficiente isolare il punto dal resto del dominio.

Per verificare la continuità di una funzione si devono in pratica verificare due grosse condizioni. La prima è che, definito un dominio, cioè un insieme di punti lungo l'asse x in cui è possibile disegnare la funzione, il valore y=f(x) sia sempre un numero reale finito. Se il dominio comprende tutti i reali, allora si parla di funzione continua, altrimenti di continuità locale. Esistono però funzioni particolari come la Dirichlet che sono discontinue in ogni punto del loro dominio. Nella pratica, si devono andare a determinare i valori del dominio per i quali non sia definito un punto del codominio, come nel caso degli asintoti verticali. Il fatto che una funzione all'infinito tenda all'infinito, invece non è una condizione necessariamente di discontinuità, come per esempio nel caso di una retta con un coefficiente angolare finito non nullo.

A parte i casi banali come le funzioni di Heaviside o funzioni a gradino che presentano palesemente un punto di discontinuità, per la stima della continuità delle funzioni è obbligatorio l'uso dei limiti. Si tratta di uno strumento matematico che in pratica va a stimare il valore di una funzione "nei pressi" di un certo punto del dominio ipotetico. In sostanza coi limiti si verifica come si comporta la funzione ad una distanza infinitesima dal punto da studiare, per esempio nel caso in cui sia apparentemente impossibile sostituire il valore numerico, per esempio perché il calcolo darebbe risultati inconsistenti. Se il limite a destra e sinistra del punto non corrisponde, ci dà valori privi di significato matematico o non calcolabili la funzione è discontinua. I casi in cui il calcolo divenga particolarmente complesso possono essere trattati per cambiamento del sistema di riferimento ed uso del metodo degli infiniti ed infinitesimi che prevede una stima della grandezza relativa di valori molto grandi o molto piccoli per andare ad eliminare quelli che non offrono un contributo cospicuo.

Per comprendere come si manifestano le discontinuità nelle funzioni, vediamone alcune semplici.
Verificare se le funzioni f (x)=1/(x+1) e g (x)=(x-1)*log (x) siano continue o no. Calcoliamo il dominio delle funzioni:
Df: (-inf,-1) U (-1, inf). Ho quindi una funzione non continua con una discontinuità in -1.
Dg: (0, inf). Ho quindi una funzione continua per ogni punto.
Verificare che una funzione sia continua in un unico punto.
Se voglio verificare che la funzione f (x) sia continua nel punto x=x1 basta verificare che il limite destro e sinistro per x che tende a x1 di f (x) siano uguali tra loro e uguali a f (x1).
Se la risposta è affermativa, la funzione è continua in x1, altrimenti no.
Verificare che le funzioni f (x)=1/x e g (x)=x+1 siano continue nel punto x=0.
I limiti destro e sinistro in 0 di f (x) sono rispettivamente +inf e -inf, quindi la f non è continua in 0.
i limiti destro e sinistro in 0 di g (x) sono entrambi 1, g (0)=1. Quindi g (x) è continua per x=0.

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