Come Verificare I Sottospazi Vettoriali

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In questo articolo di oggi vi parleremo di come verificare i sottospazi vettoriali. In matematica questo sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale, che ha proprietà tali da farne un altro spazio vettoriale a sua volta. Le rette ed i piani sono esempi di sottospazi vettoriali, nello spazio euclideo tridimensionale passanti per l'origine. Sia "K" un campo, sia "V" uno spazio vettoriale su "K" e sia "W" un sottoinsieme non vuoto di "V". Buona lettura e buono studio!

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È dimostrato che "W" è un sottospazio vettoriale se e solo se valgono le proprietà che seguiranno. L'insieme "W" è un sottospazio vettoriale di "V", se è uno spazio vettoriale su "K", con le operazioni di somma tra matrici e moltiplicazione per scalare e se è chiuso rispetto ad esse.
Due proprietà unite, equivalgono praticamente a quanto espresso: per ogni "u", "v" appartenenti a "W" e per ogni "a", "b" appartenenti a "R", si andrà a verificare che a*u b*v appartiene a "W". Inoltre dovrà esserci il vettore nullo.

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In tale proprietà, "a" e "b" sono scalari, mentre "u" e "v" sono vettori. Ora vi faremo un esempio per chiarire subito la spiegazione facendo un esercizio. Stabilite che i seguenti sottoinsiemi di R^3 sono sottospazi vettoriali di R^3: W1=[(x, y, z) appartenenti a R^3 tale che: x y z=0] e W2=[(x, y, z) appartenente a R^3 tale che: x y=1].
A questo punto ci dobbiamo concentrare su "W1". Proviamo che "W1" verifica la proprietà suddetta contenente anche le altre due. Cominciamo subito col dire che in "W1" è presente il vettore nullo, essendo l'equazione che lo definisce omogenea. Consideriamo due vettori (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2), che appartengono a "W1", e ne consideriamo una combinazione lineare secondo gli scalari di "a" e "b": Quindi risulterà che "a" genera tale operazione: (x1, y1, z1) b (x2, y2, z2)=(a*x1 b*x2; a*y1 b*y2; a*z1 b*z2).

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Se "W" è un sottospazio vettoriale di "V", si può costruire il gruppo quoziente chiamato "V/W" e munirlo di una struttura naturale di spazio vettoriale. Si definisce la relazione di equivalenza \mathbf v \sim \mathbf w, più precisamente, se e soltanto se avviene questo: \mathbf v - \mathbf w \in "W". Una singola classe di equivalenza è denotata spesso come: \mathbf v + W. Somma e moltiplicazione per scalari sono definiti mediante: (\mathbf v + W) + (\mathbf w + W) = (\mathbf v + \mathbf w) + W\lambda (\mathbf v + W) = (\lambda \mathbf v) + "W". Ora, questo vettore appartiene a "W1" se: (a*x1 b*x2) (a*y1 b*y2) (a*z1 b*z2)=0. Per ipotesi: (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) appartengono a "W1", quindi: x1 y1 z1=0 e x2 y2 z2=0. Perciò: (ax1 bx2) (ay1 by2) (az1 bz2)= a (x1 y1 z1) b (x2 y2 z2)= a*0 b*0=0. Questo vuol dire proprio che "W1" è chiuso rispetto alle operazioni di prodotto e di somma. Per quanto concerne "W2", sarà sufficiente notare, che non c'è il vettore nullo, fondamentale condizione per essere sottospazio vettoriale.

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