Come valutare i gradi di libertà di una catena cinematica nello spazio

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Secondo i principi della meccanica razionale, la catena cinematica è l'unione di più membri ottenuta con coppie cinematiche, in modo che, fissata la velocità relativa di un membro, risultino determinate in modo univoco le velocità relative di tutti gli altri membri, con la conseguenza che il sistema ha un solo grado di libertà. Ma vediamo in questa guida come valutare i gradi di libertà di una catena cinematica nello spazio.

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Occorrente

  • competenze matematiche e algebriche
  • competenze di meccanica e dinamica
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La catena cinematica può essere di diversi tipi: semplice, se ogni membro risulta accoppiato ad un solo membro, oppure composta se è presente almeno un membro accoppiato con tre o più altri membri. Può essere, inoltre, aperta se esiste un membro con un solo accoppiamento, oppure chiusa se viceversa ogni membro è accoppiato ad ambo le parti. Ma in tutti questi casi risulta implicare sempre un insieme di elementi rigidi collegati mediante catene cinematiche.

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Ogni corpo rigido nello spazio possiede 6 gradi di libertà. Per gradi di libertà si intende il numero di parametri indipendenti, che bisogna assegnare per determinare univocamente la posizione di un corpo o di un insieme di corpi. Nel caso di una catena cinematica ad n elementi, si avrà un totale di 6n gradi di libertà meno il numero di gradi soppressi dai vincoli.

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Nel caso spaziale, i vincoli possono essere di 6 tipologie e dipendono dal numero di gradi di libertà che si sopprimono (quindi si possono eliminare tutti e sei i gradi di libertà). Per una catena cinematica, allora, varrà la seguente formula:


m=6(l)-5g5-4g4-3g3-2g2-g1

dove:

- m è il numero di gradi di libertà;

- l è il numero di elementi che compongono la catena cinematica;

- g sono il numero di coppie cinematiche che eliminano rispettivamente 5,4,3,2,1 grado di libertà.

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Nel caso di un meccanismo di una catena cinematica, dove vi è un elemento fissato a terra, abbiamo la seguente formula di Kutzbach:

m=6(l-1)5g5-4g4-3g3-2g2-g1

Tale formula risulta analoga alla precedente, con l'unica differenza che, essendo un elemento fissato a terra e quindi privo di qualsiasi grado di libertà, bisognerà ridurre di uno il numero di elementi. Il risultato consisterà nel numero m che potrà essere positivo, negativo o nullo.

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Se il numero m è positivo vuol dire che il meccanismo è labile e può muoversi, e quindi possiamo assegnare m a parametri indipendenti per trovare una nuova posizione del sistema. Se il numero, invece, è negativo la struttura è iperstatica, cioè ci sono più vincoli di quanti necessari a tenerla ferma. Se m, infine, è uguale a zero, la struttura risulta isostatica, perciò non possiamo assegnare alcun parametro, visto che l'unica posizione possibile è quella assunta dalla struttura in quel momento.

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