Come utilizzare la formula di Stirling per i limiti di successioni

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Nello studio dell'analisi matematica compaiono spesso quelli che vengono definiti come limiti di successioni. Sostanzialmente si tratta di capire a che valore tende una determinata funzione a mano a mano che si avvicina a limiti che non potrebbe raggiungere. Sebbene, tramite la definizione, è a volte possibile identificare tale valore, per espressioni più complesse generalmente si ricorre ad altri strumenti, per esempio limiti notevoli o approssimazioni. Tra queste ce n'è una molto utile per quanto riguarda il calcolo del fattoriale di un numero. Attraverso i passaggi che seguono ci occuperemo proprio di capire come bisogna procedere per utilizzare correttamente la formula di Stirling per i limiti di successioni. Prima di iniziare, ricordiamo che per comprendere pienamente il concetto è importante avere delle solide basi di matematica.

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Utilizzare le approssimazioni

Per cominciare, possiamo dire che sebbene la formula di Taylor permetta di approssimare un'ampia categoria di funzioni in un polinomio, non è applicabile per quanto riguarda i limiti di successioni. Infatti, si utilizza nell'ipotesi di funzioni a variabili reali, mentre nel nostro caso abbiamo a che fare con numeri naturali, ossia interi negativi e non. Si ricorre quindi ad altre approssimazioni, come quella di Eulero o nel nostro caso quella di Stirling.

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Usare la formula

Il fattoriale di un numero, per definizione, è una produttoria per ricorrenza i cui termini sono dei numeri naturali che vanno da 1 al numero stesso. Si indica con un punto esclamativo immediatamente dopo il numero. Purtroppo, al di là di particolari condizioni standard, non è semplice calcolare il comportamento asintotico di composizioni di funzioni che presentano il fattoriale. La formula di Stirling interviene a questo proposito: permette quindi di approssimare, per grandi valori, il fattoriale a una composizione di radici ed esponenziali.

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Applicare la formula

La formula analitica dell'espressione di Stirling è la seguente: n! = rad (2pin) * (n/e)^n. Ossia, il fattoriale è approssimabile al prodotto della radice del numero moltiplicato per due volte pi greco e dell'elevazione a se stesso del numero diviso la costante di Nepero. Può sembrare un concetto abbastanza complicato da comprendere, ma ci accorgeremo sin da subito di come ci possa facilitare il lavoro per il calcolo sui limiti.

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Capire i passaggi

Supponiamo adesso di avere il nostro limite complicato e che questo presenti dei fattoriali. Possiamo utilizzare la formula di Stirling per sostituire i fattoriali con le espressioni di cui sopra: in questo modo, nel caso in cui fossero presenti delle radici, possono semplificarsi con il primo membro della moltiplicazione. Se sono presenti degli esponenziali, possono anch'essi semplificarsi. Nel caso in cui fossero presenti altre funzioni elementari, possiamo ricorrere all'utilizzo di limiti notevoli oppure passare al comportamento asintotico. Ricordiamo, infatti, che n elevato alla n è una delle funzioni che va all'infinito più velocemente. A questo punto il lavoro è concluso: si tratta di operazioni abbastanza semplici, ma occorre esercitarsi per comprendere e consolidare le conoscenze finora acquisite.

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