Come utilizzare il principio di induzione per una dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Il principio di induzione è un importante strumento di tipo deduttivo che in genere si utilizza nella teoria dei numeri interi, ma anche in tutti quegli altri casi in cui delle determinate situazioni si possono mettere in relazione con i numeri naturali. Il principio di induzione segue la stessa logica di quella del teorema del buon ordinamento dei numeri naturali. In questa semplice guida ti illustro come utilizzare i principio di induzione per una dimostrazione.

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Il principio di induzione è utilissimo per riuscire a verificare la veridicità di un certo postulato di tipo algebrico. Esistono due tipologie del principio di induzione: il principio della prima forma e quello della seconda forma. In entrambi i casi il processo si basa sulla verifica del postulato nel suo caso 0 e poi si estende questo caso anche agli altri. Ad esempio possiamo dimostrare, utilizzando il principio di induzione, quella formula che somma i primi "n" numeri naturali e cioè la formula "n (n 1)/2".

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Ora proviamo a utilizzare il principio di induzione nella sua prima forma. Per fare ciò, come prima cosa, dobbiamo controllare che la formula sia valida nel suo caso 0 e quindi che sia valida per n=1: si ha che 1(1 più 1)/2 =1. Infatti la somma di tutti i numeri naturali fino ad 1 è uno. Ora dobbiamo supporre che la formula sia valida fino al valore "n" e dobbiamo anche dimostrala per "n 1". Quindi sostituiamo, a "n", nella data formula, "n 1". Il risultato sarà questo: (n più 1)(n più 2)/2. Questa espressione, quando viene svolta, diventa n più 1 (n più 1)(n)/2 e quindi la formula è stata dimostrata.

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Utilizzando invece il principio di induzione nella sua seconda forma, il procedimento risulta molto simile. Ma, dopo aver dimostrato che nel caso 0 il postulato è vero, dovremo anche supporre che l'assunto sia vero fino al valore "n-1" e quindi dimostrare che per "n" è vero, rapportando il caso "n" in casi precedenti. Facciamo un esempio: per dimostrare che ogni numero è divisibile in primi basta dire che un primo è unicamente scrivibile e supporre che fino al numero n-1 si possa scomporre e dimostrarlo per n. Se "n" è un primo allora sicuramente sarà univocamente scrivibile. In caso contrario potrà essere diviso in due primi minori di n-1. Dal momento che i due primi sono minori di n-1, questi rientrano nel caso supposto vero e quindi si è verificato il postulato. Sembra difficile, ma se segui bene tutto il ragionamento logico, scoprirai che è del tutto semplice e dimostrabile. Prova a fare altri esempi e vedrai.

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