Come utilizzare il primo teorema del confronto

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

I teoremi per determinare i limiti di una funzione sono molteplici e molte volte risultano molto semplici, soprattutto grazie a una spiegazione esaustiva con l'illustrazione dello svolgimento di un esercizio. In questa guida spiegherò come  utilizzare il primo teorema del confronto  nel modo più semplice possibile.

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Per prima cosa è importante conoscere l'enunciato del teorema che ci dice di prendere in considerazione le funzioni h (x), f (x) e g (x) definite in un dominio D, escluso al più un punto x0, supponiamo che: il limite di x che tende a x0 della funzione h (x) sia uguale ad l; il limite di x che tende a x0 della funzione g (x) sia uguale ad l; e che la funzione h (x) <= f (x)<=g (x) allora sarà che il limite di x che tende a x0 della funzione f (x) sia uguale a l.

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Andiamo a risolvere un esercizio per capire come mettere in pratica questo teorema. Prendiamo in considerazione le seguenti funzioni:
h (x) = - x ^2 + 4x -3
f (x) = 2x - 2
g (x) = x^2 - 1
e sapendo che il limite x che tende a uno di h (x) è uguale a zero; e il limite di x che tende a uno di g (x) è uguale a zero andiamo a calcolare il limite di x che tende a uno di f (x) utilizzando il teorema del confronto.

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Cosa dobbiamo fare? Per applicare il teorema dobbiamo per prima cosa verificare le sue ipotesi cioè che h (x) <= f (x)<=g (x) in un intorno di 1. Quindi andiamo a sostituire le equazione delle funzioni h (x), f (x) e g (x) all'ipotesi, risultando che (- x^2+ 4x -3)<= (2x - 2) <= (x^2- 1).

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Risolviamo l'ipotesi (- x^2 + 4x -3)<= (2x - 2) <= (x ^2 - 1) attraverso un sistema dove la prima disequazione è (- x^2 + 4x -3)<= (2x - 2) e la seconda è (2x - 2) <= (x^2 - 1). Risolviamo la prima disequazione portando per prima cosa tutti i termini a sx -x^2 + 4x - 3 - 2x +2 <= 0; ora sommiamo i termini simili e risulterà che - x^2 + 2x - 1 <= 0. Seguiamo lo stesso procedimento per la seconda disequazione quindi 2x - 2 - x^2 + 1 <= 0 ; - x^2 + 2x - 1 <= 0.

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Entrambe le due disequazioni del sistema che abbiamo appena sviluppato sono verificate per ogni x appartenente ad R allora anche la disuguaglianza h (x) <= f (x) <= g (x) risulterà verificata per ogni x appartenente ad R. Quindi con questo procedimento abbiamo verificato la veridicità dell'ipotesi e possiamo quindi applicare il teorema del confronto affermando che il limite di x che tende a uno della funzione f (x) è uguale a 0.
Come abbiamo visto svolgere il teorema del confronto è molto semplice, basta solo verificare che l'ipotesi sia veritiera per affermare infine che la f (x) sia anch'essa compresa nel medesimo intervallo delle funzioni g (x) e h (x).

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